初中·数学

整数与分数统称有理数，无限不循环小数（如 $\pi$、$\sqrt{2}$）是无理数，合起来即实数。核心是数轴、相反数与绝对值 $|a|\ge 0$，以及“先定符号再计算”的法则。

把数画到一条带方向的直线上，相反数是关于原点对称的一对数，绝对值就是到原点的距离，永远非负，专门用来看大小和距离。

用a×10的n次方把超大或超小的数写得又短又清楚，n看小数点移了几位；近似数则是按要求保留几位有效数字来估个大概。

开方是平方、立方的逆运算，正数有两个平方根、立方根只有一个；再把有理数和无理数合起来叫实数，一起按规则做混合运算。

整式运算靠合并同类项、幂的运算与乘法公式；因式分解是其逆运算，把多项式写成积。平方差 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$、完全平方 $(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$ 是核心。

同底数幂相乘除、幂的乘方这些口诀要记牢，再配上平方差、完全平方两个公式，能帮你把一堆乘法快速算对、不硬展开。

和乘法反着来，把一个多项式拆成几个式子相乘；先看有没有公因式，再想能不能套公式，二次三项就试十字相乘。

分式的分母 $\ne 0$ 才有意义，值为零还需分子 $=0$；二次根式 $\sqrt{a}$ 要求 $a\ge 0$，同类才能合并。关键是通分、约分、化到最简。

就是带字母的分数，加减要通分、乘除要约分，最关键是分母不能为零；化简到最简后再代数值算得又快又不容易错。

带根号的式子，根号里必须非负；会化成最简、合并同类根式、分母有理化，就能顺畅地做加减乘除和化简。

先把式子化到最简再代入求值往往更省事；找规律题则要盯住每一项怎么变，用字母n把这个规律写成通用式子。

一元一次方程 $ax+b=0$ 按“去分母、去括号、移项、合并、系数化 1”五步解；方程组用代入或加减消元。列方程解应用题重在找等量关系。

读懂应用题里的等量关系，设好未知数列出方程或方程组，再解出来，是把生活问题翻译成数学、算出答案的基本功。

分母里含未知数的方程，去分母变成整式方程来解，但一定要记得检验，把让分母为零的增根扔掉才算真正的解。

早在约四千年前，古巴比伦人为了"已知一块地的面积，反求它的边长"这类问题，就已经在和二次方程打交道了；后来数学家花拉子米系统总结了它的解法，这也是"代数（algebra）"这门学科的起源之一。 为什么非要它不可？一次方程只能描述"成正比"的简单关系；可现实里一旦有两个量相乘——面积、复利增长、抛物线运动——未知数就带上了平方，一次方程就不够用了，于是有了一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0$。 学会它，你就能回答很多"最优"和"何时"的问题：面积一定时边长该多长、定什么价格利润最大、球抛出去几秒落地。

判别式b²−4ac只看符号就能判断方程有没有实根、几个根；韦达定理则让你不解方程也能求两根的和与积。

面积、增长率、利润这类题常会列出二次方程，解完后还要结合实际把不合理的负根、超范围的根舍掉。

解不等式与解方程几乎一样，但两边同乘除负数要变号；不等式组取各解集的公共部分，解集在数轴上用实心/空心点表示。

处理"至少、不超过、最多"这种范围问题，列不等式求解集，注意乘除负数要变号，组则取各解的公共部分。

用横纵两条数轴给平面上每个点一个坐标；函数就是x一变y跟着唯一确定地变，是后面研究各种图象的地基。

$y=kx+b$ 的图象是直线，$k$ 定增减、$b$ 定截距。用待定系数法求解析式，并与一元一次方程、不等式、方程组一一对应。

一次函数图象是条直线，它和x轴的交点就是方程的解，图象在x轴上方还是下方对应不等式，图形和代数是一回事。

话费、行程、收费这些均匀变化的问题都能用y=kx+b来描述，k是变化快慢、b是起点，据此做预测和比较划不划算。

$y=\frac{k}{x}$ 的图象是双曲线，$k$ 的正负决定所在象限。图象上一点与两坐标轴围成的矩形面积恒为 $|k|$，是解题利器。

y=k/x描述"一个变大另一个就变小、乘积不变"的关系，像速度与时间、压强与面积，图象是两条不碰坐标轴的曲线。

$y=a{x}^2+bx+c$ 的图象是抛物线，$a$ 定开口，对称轴 $x=-\frac{b}{2a}$，顶点即最值点。一般式、顶点式、交点式各有妙用。

抛物线最核心的是顶点和那条对称轴，配方成顶点式就一眼看出来；图象平移记住"左加右减、上加下减"就不会错。

a定开口方向和胖瘦、c定和y轴的交点、a与b一起定对称轴左右，看图就能反推这三个系数的正负。

抛物线开口向上顶点处最低、向下最高，所以最大或最小值就在顶点；有取值范围时还要看端点，别只盯顶点。

抛物线和x轴的交点横坐标，正好是对应二次方程的根；交两点、切一点、不相交，就对应判别式的正、零、负。

把二次函数和几何、方程混在一起考，常见的是拱桥、抛物运动、利润最大化，关键是建好坐标系、列对函数式再求解。

几何最基础的一堆概念和关系：线段中点、角平分线、对顶角相等、平行线"同位角相等"这些，是后面所有推理的起点。

命题就是能判断真假的话，分条件和结论；证明要求每一步都有依据，学会严谨地由已知一步步推出结论。

三角形任意两边之和大于第三边、内角和180度、外角等于不相邻两内角之和，这几条是判断和计算三角形的常用武器。

完全重合的两个三角形对应边角相等。判定有 $SSS$、$SAS$、$ASA$、$AAS$ 及直角专用 $HL$，是证明线段、角相等的基本工具。

角平分线上的点到角两边距离相等，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，这两条"到处等距"的性质常用来证相等和找位置。

等腰三角形"等边对等角"、顶角平分线底边中线底边高三线合一；等边三角形三边三角都相等，是最对称好用的三角形。

等腰三角形“等边对等角、三线合一”；勾股定理 $a^2+b^2=c^2$ 用于直角三角形“知二求一”，其逆定理可判定直角。

相似三角形对应角相等、对应边成比例，面积比等于相似比的平方；锐角三角函数 $\sin$、$\cos$、$\tan$ 用于解直角三角形与测量。

形状相同大小可不同就是相似，对应角相等、对应边成比例；用它能测楼高河宽，位似则是从一个中心把图形整体放大缩小。

在直角三角形里，正弦余弦正切就是边与边的比值，把角和边联系起来；30、45、60度这几个特殊角的值要背熟随时用。

已知直角三角形里几个边角就能把其余的都求出来；配上仰角俯角、坡度、方位角，能解决测高、测距这类实际问题。

只用没刻度的直尺和圆规，规规矩矩画出线段、角、垂直平分线、角平分线等；重点是保留作图痕迹、说清每一步的道理。

平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分；矩形、菱形、正方形是它的特殊情形，各有对角线的独特性质。

它们都是特殊的平行四边形：矩形四角是直角、菱形四边相等、正方形两样都占；抓住各自对角线的特点就能判定和计算。

连两边中点的中位线，平行于第三边且是它的一半，特别好用；梯形只有一组对边平行，常靠平移或作高转成三角形来解。

垂径定理（垂直于弦的直径平分弦）与圆周角定理（同弧圆周角是圆心角的一半、直径所对圆周角 $90^{\circ }$）是圆的两大核心。

同一段弧所对的圆周角都相等、且是圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，这是圆里找相等角、证直角的核心工具。

靠比较距离和半径来判断：点在圆内外还是圆上、直线和圆是相离相切还是相交，把"位置"这件事变成算距离比大小。

切线和圆只碰一个点，且垂直于过切点的半径；判定切线常用"有半径、证垂直"或"作垂直、证等于半径"两条思路。

外接圆过三个顶点、圆心是三边垂直平分线交点；内切圆和三边都相切、圆心是三条角平分线交点，两个圆心别记混。

各边各角都相等的正多边形能和圆结合来算；弧长和扇形面积都按圆心角占360度的比例来求，记住公式代进去就行。

把圆锥侧面展开是个扇形，扇形弧长正好等于底面圆周长；侧面积加底面圆面积就是全面积，关键别把母线和高搞混。

沿一条直线对折能完全重合就是轴对称，对称点连线被对称轴垂直平分；它常用来做最短路径这类"翻折找点"的题。

平移是整体挪、旋转是绕点转、中心对称是转180度，这三种变换都不改变图形的形状和大小，只改变位置和方向。

从正面、上面、侧面看立体得到三视图，反过来能想象出立体样子；把立体沿棱剪开铺平就是展开图，用来算表面积。

教你怎么调查取数、把杂乱数据整理好，并用条形、折线、扇形图各展所长地表达，让人一眼看懂数据说明了什么。

平均数、中位数、众数描述集中趋势，方差 $s^2$ 描述稳定性；概率 $P=\frac{m}{n}$ 用列表法或树状图求等可能事件。

平均数一样时，方差告诉你数据稳不稳、波动大不大；方差越小越集中越稳定，常用来比较谁的成绩发挥更均匀。

频数是出现次数、频率是所占比例；把数据分组画成频率分布直方图，就能用一部分样本去推测整体的大致情况。

概率是衡量事情发生可能性大小的数，在0到1之间；等可能情况下，用"符合的结果数÷所有结果数"就能算出来。

碰到两步或多步的随机事件，用列表或画树状图把所有可能一个不漏地列出来，再数符合条件的占几种，概率就求稳了。