一元二次方程

重点难点考点初二

🧭 知识小背景

早在约四千年前，古巴比伦人为了"已知一块地的面积，反求它的边长"这类问题，就已经在和二次方程打交道了；后来数学家花拉子米系统总结了它的解法，这也是"代数（algebra）"这门学科的起源之一。

为什么非要它不可？一次方程只能描述"成正比"的简单关系；可现实里一旦有两个量相乘——面积、复利增长、抛物线运动——未知数就带上了平方，一次方程就不够用了，于是有了一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 。

学会它，你就能回答很多"最优"和"何时"的问题：面积一定时边长该多长、定什么价格利润最大、球抛出去几秒落地。

图解：把方程 ax²+bx+c=0 想象成抛物线 y=ax²+bx+c。它与 x 轴相交的两个红点，横坐标 x₁、x₂ 就是方程的两个解——这正是解一元二次方程的几何含义。

📖 精讲

先搞懂它是什么

一元二次方程，就是"只有一个未知数、且未知数最高是 2 次"的方程，标准长相是 $a x^{2} + b x + c = 0$ （这里 $a \neq = 0$ ，不然 $x^{2}$ 没了就不是二次了）。所谓"解方程"，说白了就是找出能让等式成立的那个（或那两个） $x$ 。

四招解法，按顺序试

别一上来就套公式，从最省力的开始：

直接开平方：长得像 $(x + m)^{2} = n$ 的，两边直接开方。
因式分解：能拆成 $(x - p) (x - q) = 0$ 最快——两个数相乘等于 0，必有一个是 0。
配方法：把左边凑成完全平方再开方，是公式法的原理。
公式法：万能钥匙 $x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ ，前几招不好用时再上它。

判别式：不解方程也能看出有几个根

根号里的 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 像个"侦探"： $Δ > 0$ 有两个不同的根， $Δ = 0$ 两根重合（相当于一个根）， $Δ < 0$ 没有实数根（因为根号下不能是负数）。

韦达定理与易错提醒

不用真的解出来，也能知道两根的关系： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ 。做应用题时，如果算出的根在实际中不可能（比如负的长度、人数），一定要记得舍去。

🧩 典型例题4 道

例1

解方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 。

💭 解题思路

常数项是 $6$ 、一次项系数是 $- 5$ 。我们想把 $6$ 拆成两个数，让它们的积是 $6$ 、和是 $- 5$ ，就能因式分解。

✍️ 解答过程

① 找两个数： $(- 2) \times (- 3) = 6$ ，且 $(- 2) + (- 3) = - 5$ ，符合要求；

② 于是原方程可分解为 $(x - 2) (x - 3) = 0$ ；

③ 两个因式相乘等于 $0$ ，必有一个为 $0$ ，即 $x - 2 = 0$ 或 $x - 3 = 0$ ；

④ 分别解得 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 3$ 。

💡

因式分解法最快，关键是凑出"积为常数项、和为一次项系数"的两个数。

例2

用配方法解方程 $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 。

💭 解题思路

配方法就是把左边凑成一个完全平方 $(x - 2)^{2}$ 的样子，再开平方。凑的口诀是"两边加上一次项系数一半的平方"。

✍️ 解答过程

① 先把常数项移到右边： $x^{2} - 4 x = 1$ ；

② 一次项系数是 $- 4$ ，它的一半是 $- 2$ ，平方得 $4$ ，两边同时加 $4$ ： $x^{2} - 4 x + 4 = 1 + 4$ ；

③ 左边正好是完全平方： $(x - 2)^{2} = 5$ ；

④ 两边开平方： $x - 2 = \pm 5$ ；

⑤ 移项得 $x = 2 \pm 5$ ，即 $x_{1} = 2 + 5$ ， $x_{2} = 2 - 5$ 。

💡

配方的核心动作是"两边都加上一次项系数一半的平方"，别只加左边。

例3

解方程 $2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$ 。

💭 解题思路

这个式子不太好因式分解，直接用公式法。先算判别式 $Δ$ 确认有根，再代入求根公式。

✍️ 解答过程

① 对照 $a x^{2} + b x + c = 0$ ，这里 $a = 2$ ， $b = - 3$ ， $c = - 2$ ；

② 算判别式： $Δ = b^{2} - 4 a c = (- 3)^{2} - 4 \times 2 \times (- 2) = 9 + 16 = 25 > 0$ ，说明有两个不等实根；

③ 代入求根公式： $x = \frac{- b \pm Δ}{2 a} = \frac{3 \pm 25}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$ ；

④ 分别计算： $x_{1} = \frac{3 + 5}{4} = 2$ ， $x_{2} = \frac{3 - 5}{4} = - \frac{1}{2}$ 。

💡

公式法先算 $Δ$ ；如果 $Δ$ 能开出整数，往往说明它其实也能因式分解。

例4

（中考应用）某商品原价 $100$ 元，连续两次降价后售价为 $81$ 元，两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。

💭 解题思路

设每次降价百分率为 $x$ 。第一次降价后变成原价的 $(1 - x)$ 倍，第二次再乘一次 $(1 - x)$ ，所以两次后是 $100 (1 - x)^{2}$ ，让它等于 $81$ 即可列方程。

✍️ 解答过程

① 设每次降价的百分率为 $x$ ；

② 列方程： $100 (1 - x)^{2} = 81$ ；

③ 两边除以 $100$ ： $(1 - x)^{2} = 0.81$ ；

④ 开平方： $1 - x = \pm 0.9$ ，即 $1 - x = 0.9$ 或 $1 - x = - 0.9$ ；

⑤ 解得 $x = 0.1$ 或 $x = 1.9$ ；

⑥ 降价百分率不可能大于 $1$ （不能降 $190%$ ），舍去 $x = 1.9$ ，所以 $x = 0.1 = 10%$ 。

💡

"连续增长/降价"问题的模型是 $a (1 \pm x)^{2} = b$ ；算出的根务必用实际意义检验，不合理的要舍去。

📝 中考真题近年真题 · 2 道

2020·河南中考

国家统计局数据显示，我国快递业务收入逐年增加：2017 年至 2019 年，快递业务收入由 5000 亿元增加到 7500 亿元。设这两年的年平均增长率为 $x$ ，则可列出的方程是（　）

A. $500 (1 + 2 x) = 7500$ 　　B. $5000 \times 2 (1 + x) = 7500$ 　　C. $5000 (1 + x)^{2} = 7500$ 　　D. $5000 + 5000 (1 + x) + 5000 (1 + x)^{2} = 7500$

💭 解题思路

增长率问题的通用模型是"原量 $\times (1 +$ 增长率 $)^{次数} =$ 现量"。先数清从 2017 到 2019 一共增长了几次，再套模型。

✍️ 解答过程

① 设年平均增长率为 $x$ ；

② 2017 → 2018 增长一次： $5000 (1 + x)$ ；2018 → 2019 再增长一次： $5000 (1 + x) (1 + x) = 5000 (1 + x)^{2}$ ；

③ 2019 年达到 7500 亿元，故列方程 $5000 (1 + x)^{2} = 7500$ ；

④ 对照选项，选 C。

💡

2017 到 2019 是"隔两年、增长两次"，指数是 $2$ 而不是 $3$ ——这类题先数清"增长几次"再套 $a (1 + x)^{n} = b$ ，是中考选择题的高频陷阱。

2020·河南中考

定义新运算： $m ☆ n = m n^{2} - mn - 1$ 。例如 $4 ☆ 2 = 4 \times 2^{2} - 4 \times 2 - 1 = 7$ 。则关于 $x$ 的方程 $1 ☆ x = 0$ 的根的情况为（　）

A. 有两个不相等的实数根　　B. 有两个相等的实数根　　C. 无实数根　　D. 只有一个实数根

💭 解题思路

新定义题先"翻译"——把 $1 ☆ x$ 按定义写成普通的一元二次方程，再用判别式 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 判断根的情况。

✍️ 解答过程

① 按定义令 $m = 1$ 、 $n = x$ ： $1 ☆ x = 1 \cdot x^{2} - 1 \cdot x - 1 = x^{2} - x - 1$ ；

② 所以方程为 $x^{2} - x - 1 = 0$ ，其中 $a = 1$ ， $b = - 1$ ， $c = - 1$ ；

③ 判别式 $Δ = b^{2} - 4 a c = (- 1)^{2} - 4 \times 1 \times (- 1) = 1 + 4 = 5$ ；

④ $Δ = 5 > 0$ ，方程有两个不相等的实数根，选 A。

💡

别被新符号吓住——先按定义翻译成常规方程，再用判别式即可。 $Δ > 0$ 两不等根、 $Δ = 0$ 两相等根、 $Δ < 0$ 无实根。

🌟 学以致用 · 解决生活中的问题

学完这一节，我们用它解决两个身边的问题。

问题一：客厅铺地毯

家里客厅是长 $8$ 米、宽 $6$ 米的长方形，想在正中间铺一块长方形地毯，四周留出一圈同样宽的地板。如果希望地毯面积正好是客厅的一半（即 $24$ 平方米），四周留的空地该有多宽？

💭 思路：设四周留的宽度为 $x$ 米。地毯的长比客厅少两个 $x$ （左右各留一条），宽也少两个 $x$ ，于是地毯长 $(8 - 2 x)$ 、宽 $(6 - 2 x)$ 。让面积等于 $24$ 就能列方程。

✍️ 解决步骤：

① 设四周空地宽为 $x$ 米，则地毯长 $(8 - 2 x)$ 米、宽 $(6 - 2 x)$ 米；

② 列方程： $(8 - 2 x) (6 - 2 x) = 24$ ；

③ 展开整理： $4 x^{2} - 28 x + 48 = 24$ ，即 $x^{2} - 7 x + 6 = 0$ ；

④ 因式分解 $(x - 1) (x - 6) = 0$ ，得 $x = 1$ 或 $x = 6$ ；

⑤ 空地宽必须让地毯的边为正，需 $x < 3$ ，所以舍去 $6$ ，四周留 $1$ 米宽。

问题二：同学互送新年贺卡

班里同学过年互送贺卡，每两位同学之间互相各送一张。如果全班一共送出了 $90$ 张贺卡，这个班有多少人？

💭 思路：设有 $n$ 个人。每个人要给其余 $(n - 1)$ 个人各送一张，所以总张数是 $n (n - 1)$ 。让它等于 $90$ 即可。

✍️ 解决步骤：

① 设班里有 $n$ 人，总张数 $n (n - 1) = 90$ ；

② 整理成一元二次方程： $n^{2} - n - 90 = 0$ ；

③ 因式分解 $(n - 10) (n + 9) = 0$ ，得 $n = 10$ 或 $n = - 9$ ；

④ 人数不能为负，舍去 $- 9$ ，所以这个班有 $10$ 个人。

🎬 讲解视频3 个 · 从不同角度讲

视频来源：哔哩哔哩

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