解直角三角形及其应用

🧭 知识小背景

已知直角三角形里几个边角就能把其余的都求出来；配上仰角俯角、坡度、方位角，能解决测高、测距这类实际问题。

📖 精讲

解直角三角形，说白了就是"知二求四"：在直角三角形里除了那个 90°，只要再知道两个元素（至少含一条边），就能把其余的边和角全求出来。工具就三样——正弦、余弦、正切，加上勾股定理和两锐角互余。第一步永远是看清"已知边是所求角的对边还是邻边"，配对好了，选 sin、cos 还是 tan 一目了然。应用题里，仰角俯角是视线与水平线的夹角，坡度 i 是"铅直高∶水平宽"，方位角从正北顺时针量；把这些实际条件翻译成直角三角形的边角，再解三角形即可。测高测距常要作水平线或垂线构造直角三角形；遇到两次观测，抓住那条公共的直角边列方程，是最常用的套路。

🧩 典型例题3 道

例1

在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，求 ∠B、AC 和 AB。

💭 解题思路

直角三角形里已知一锐角和一边，用锐角三角函数逐个求。注意 BC 是 ∠A 的对边。

✍️ 解答过程

① ∠B=90°−30°=60°；

② 由 $sin A = \frac{B C}{A B}$ 得 $A B = \frac{B C}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$ ；

③ 由 $tan A = \frac{B C}{A C}$ 得 $A C = \frac{B C}{tan 3 0 ^{\circ}} = \frac{2}{\frac{3}{3}} = 23$ 。

💡

先分清所求边是对边还是邻边，选对 sin、cos、tan 是关键。

例2

测楼高 CD。在地面 A 处测得楼顶 C 的仰角为 30°，沿 A 向楼底 D 方向前进 20 m 到 B 处，再测得仰角为 60°（A、B、D 在同一水平线上），求楼高 CD。

💭 解题思路

设楼高为 h，用两次仰角把 AD、BD 都用 h 表示，再由 AB=AD−BD 列方程。

✍️ 解答过程

① 设 $C D = h$ 。在 Rt△ACD 中 $A D = \frac{h}{tan 3 0 ^{\circ}} = 3 h$ ；

② 在 Rt△BCD 中 $B D = \frac{h}{tan 6 0 ^{\circ}} = \frac{3}{3} h$ ；

③ 由 $A B = A D - B D$ 得 $3 h - \frac{3}{3} h = 20$ ，即 $\frac{2 3}{3} h = 20$ ，解得 $h = 103 \approx 17.3$ （m）。

💡

两次观测对应的是同一条高 CD，抓住这条公共直角边是解题突破口。

例3

某水库大坝的横断面是梯形 ABCD，坝顶 BC 宽 6 m，坝高 12 m，迎水坡 AB 的坡度 $i = 1 : 2$ ，背水坡 CD 的坡角为 45°，求坝底 AD 的长。

💭 解题思路

坡度 i 是"铅直高∶水平宽"，先由坡度和坡角分别求出两条坡的水平投影，再加上坝顶宽。

✍️ 解答过程

① 迎水坡 AB： $i = 1 : 2$ 即高∶水平=1∶2，高为 12 m，故水平投影 $= 12 \times 2 = 24$ （m）；

② 背水坡 CD：坡角 45°，水平投影 $= \frac{12}{tan 4 5 ^{\circ}} = 12$ （m）；

③ 坝底 $A D = 24 + 6 + 12 = 42$ （m）。

💡

坡度 $i = \frac{铅直高}{水平宽} = tan (坡角)$ ，务必先把坡化成水平距离再相加。

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