整式运算与因式分解

重点难点初一

🧭 知识小背景

整式运算靠合并同类项、幂的运算与乘法公式；因式分解是其逆运算，把多项式写成积。平方差 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ 、完全平方 $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ 是核心。

📖 精讲

四块基本功：合并同类项、去括号（括号前是负号则各项变号）、幂的运算（ $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ 、 $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ ）、乘法公式。

它是乘法的逆运算——把多项式写成几个整式的积。口诀“一提二套三分组，分解到底再检查”。

它是解一元二次方程、约分通分、化简求值的根本工具。易错：分解不彻底、完全平方中间项符号看错。

🧩 典型例题3 道

例1

先化简再求值： $(a + 2) (a - 2) - a (a - 1)$ ，其中 $a = - 3$ 。

✍️ 解答过程

原式 $= (a^{2} - 4) - (a^{2} - a) = a - 4$ 。代入 $a = - 3$ ： $- 3 - 4 = - 7$ 。

💡

中考“化简求值”务必先化到最简再代入。

例2

分解因式： $2 x^{3} - 8 x$ 。

✍️ 解答过程

先提公因式 $2 x$ ： $= 2 x (x^{2} - 4)$ ，再用平方差： $= 2 x (x + 2) (x - 2)$ 。

💡

提完公因式一定要检查括号内能否继续分解。

例3

分解因式： $(x^{2} + y^{2})^{2} - 4 x^{2} y^{2}$ 。

✍️ 解答过程

视为平方差 $A^{2} - B^{2}$ （ $A = x^{2} + y^{2}, B = 2 x y$ ）：

$= (x^{2} + y^{2} + 2 x y) (x^{2} + y^{2} - 2 x y) = (x + y)^{2} (x - y)^{2}$ 。

💡

整体思想 + 两次完全平方，是“分解到底”的经典综合题。

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