频数、频率分布与用样本估计总体

🧭 知识小背景

频数是出现次数、频率是所占比例；把数据分组画成频率分布直方图，就能用一部分样本去推测整体的大致情况。

📖 精讲

这一节的三兄弟要分清：频数是某组数据出现的次数，是整数；频率是这组频数除以数据总数，是0到1之间的小数，所有组的频率加起来正好等于1。记牢核心公式：频率=频数÷总数，三个量知道两个就能求第三个，这是最常考的填空点。画频率分布直方图时先分组、数频数、算频率，横轴是数据分组，纵轴常用"频率÷组距"，每个小长方形的面积就是该组频率，所有面积之和为1。最后一步是用样本估计总体：抽样要随机、有代表性，样本里某类的频率约等于总体里这类所占的比例，于是总体数量≈总数×频率。做题时别把频数、频率搞反，估计题记得写"约""大约"，得到的是估计值而不是精确结果。

🧩 典型例题3 道

例1

为了解某班同学的身高，随机抽取部分同学，测得身高在 $160 \sim 165$ （单位：cm）这一组的有 $8$ 人，恰好占被抽查人数的 $0.2$ ，求被抽查的总人数以及这一组的频率。

💭 解题思路

频率=频数÷总数，所以总数=频数÷频率，频率本身已给出。

✍️ 解答过程

① 该组频数为 $8$ ，频率为 $0.2$

② 被抽查总人数 $= 8 \div 0.2 = 40$ （人）

③ 该组频率即为 $0.2$

💡

频数、频率、总数三者知二求一，别把频率当频数。

例2

将 $50$ 个数据分成五组，前四组的频数依次为 $6, 10, 14, 12$ ，求第五组的频数和频率。

💭 解题思路

各组频数之和等于数据总数；再用频率=频数÷总数求频率。

✍️ 解答过程

① 前四组频数之和 $= 6 + 10 + 14 + 12 = 42$

② 第五组频数 $= 50 - 42 = 8$

③ 第五组频率 $= \frac{8}{50} = 0.16$

💡

各组频率之和一定等于 $1$ ，即 $\frac{6 + 10 + 14 + 12 + 8}{50} = 1$ ，可用来检验。

例3

某工厂生产一批共 $10000$ 只灯泡，为估计其合格率，随机抽取 $200$ 只检测，其中合格的有 $190$ 只。求样本中合格的频率，并估计这批灯泡中合格的大约有多少只。

💭 解题思路

先算样本合格频率，再用样本频率去估计总体，合格数≈总数×频率。

✍️ 解答过程

① 样本合格频率 $= \frac{190}{200} = 0.95$

② 用样本估计总体，合格率约为 $0.95$

③ 合格灯泡约 $10000 \times 0.95 = 9500$ （只）

💡

用样本估计总体，样本要随机且有代表性，结论是估计值，要写“约”。

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