一元一次方程与方程组

重点初一

🧭 知识小背景

一元一次方程 $a x + b = 0$ 按“去分母、去括号、移项、合并、系数化 1”五步解；方程组用代入或加减消元。列方程解应用题重在找等量关系。

📖 精讲

$a x + b = 0 (a \neq = 0)$ ，解法五步：去分母 → 去括号 → 移项（过等号变号）→ 合并同类项 → 系数化为 1。去分母时每一项都要乘公分母。

把二元变一元：某未知数系数为 $1$ 用代入消元，系数相等或成倍用加减消元。

审题找等量关系 → 设未知数 → 列式 → 解 → 检验 → 作答。常见模型：行程、工程、利润、配套、方案。

🧩 典型例题3 道

例1

解方程： $\frac{2 x - 1}{3} - \frac{x + 2}{2} = 1$ 。

✍️ 解答过程

两边乘 $6$ ： $2 (2 x - 1) - 3 (x + 2) = 6$ ，去括号 $4 x - 2 - 3 x - 6 = 6$ ， $x - 8 = 6$ ， $x = 14$ 。

💡

右边的 $1$ 也要乘 $6$ ，最易漏。

例2

解方程组： ${2 x + 3 y = 12 x - y = 1$

✍️ 解答过程

由第二式得 $x = y + 1$ ，代入第一式： $2 (y + 1) + 3 y = 12$ ， $5 y = 10$ ， $y = 2$ ， $x = 3$ 。

例3

（应用）某商品进价 $80$ 元，标价 $120$ 元。按标价打折销售，要使利润率为 $20%$ ，应打几折？

✍️ 解答过程

设打 $x$ 折，售价 $= 120 \times \frac{x}{10}$ 。利润率 $20%$ 即售价 $= 80 \times (1 + 20%) = 96$ 。

$120 \times \frac{x}{10} = 96$ ，解得 $x = 8$ ，即打八折。

'鸡兔同笼'用方程列 x+y=35, 2x+4y=94，比小学假设法更通用。

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