平行四边形一族

考点初二

🧭 知识小背景

平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分；矩形、菱形、正方形是它的特殊情形，各有对角线的独特性质。

图解：平行四边形的两条对角线交于一点 O，并且互相平分，即 AO=CO、BO=DO。

📖 精讲

两组对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分。

“性质”是已知它是某四边形推结论，“判定”是满足条件推它是某四边形。菱形面积 $= \frac{1}{2} \times$ 对角线乘积。

🧩 典型例题3 道

例1

平行四边形 $A B C D$ 周长为 $40$ ， $A B = 8$ ，求 $B C$ 。

✍️ 解答过程

$A B = C D = 8$ ，周长 $= 2 (A B + B C) = 40$ ， $A B + B C = 20$ ， $B C = 12$ 。

例2

菱形 $A B C D$ 中 $A C = 6$ ， $B D = 8$ ，求边长与面积。

✍️ 解答过程

对角线互相垂直平分，半对角线 $3$ 和 $4$ ，边长 $= 3^{2} + 4^{2} = 5$ ；面积 $= \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ 。

例3

矩形 $A B C D$ 对角线交于 $O$ ， $∠ A O B = 6 0^{\circ}$ ， $A B = 4$ ，求 $A C$ 。

✍️ 解答过程

矩形对角线相等且平分 $\Rightarrow O A = O B$ ，又 $∠ A O B = 6 0^{\circ} \Rightarrow △ A O B$ 为等边三角形， $O A = A B = 4$ ， $A C = 2 O A = 8$ 。

💡

矩形“对角线相等且平分”常制造等腰/等边三角形。

伸缩晾衣架、活动铁门就是平行四边形的可变形性。

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