一次函数与方程、不等式的关系

🧭 知识小背景

一次函数图象是条直线，它和x轴的交点就是方程的解，图象在x轴上方还是下方对应不等式，图形和代数是一回事。

📖 精讲

这块的核心就一句话：一次函数、方程、不等式其实是同一件事的三副面孔。把 $y = k x + b$ 画成一条直线后，它和 x 轴的交点，横坐标就是方程 $k x + b = 0$ 的解，因为交点处 $y = 0$ 。想解不等式 $k x + b > 0$ ，就看图象在 x 轴上方那段对应哪些 x； $k x + b < 0$ 就看下方。要比较两个函数 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 谁大，先联立求交点，再看哪条线在上面，分界点就是交点横坐标。做题两步走：先令 $y = 0$ 定交点，再结合 $k$ 的正负判断直线是上升还是下降，这样上方下方一目了然，千万别死记不等号方向， $k < 0$ 时尤其容易记反。

🧩 典型例题3 道

例1

已知一次函数 $y = 2 x - 4$ ，求它的图象与 x 轴交点的坐标，并写出方程 $2 x - 4 = 0$ 的解。

💭 解题思路

图象与 x 轴交点处纵坐标为 $0$ ，令 $y = 0$ 就得到对应方程。

✍️ 解答过程

① 令 $y = 0$ ，得 $2 x - 4 = 0$

② 移项得 $2 x = 4$ ，解得 $x = 2$

③ 所以交点坐标为 $(2, 0)$ ，方程 $2 x - 4 = 0$ 的解为 $x = 2$

💡

函数图象与 x 轴交点的横坐标，就是对应方程的解。

例2

已知一次函数 $y = - 3 x + 6$ ，利用图象求不等式 $- 3 x + 6 > 0$ 的解集。

💭 解题思路

$y > 0$ 对应图象在 x 轴上方的部分，先求出与 x 轴的交点。

✍️ 解答过程

① 令 $y = 0$ ，得 $- 3 x + 6 = 0$ ，解得 $x = 2$ ，交点为 $(2, 0)$

② 因为 $k = - 3 < 0$ ，图象从左到右下降，x 轴上方对应 $x < 2$ 的部分

③ 所以不等式 $- 3 x + 6 > 0$ 的解集为 $x < 2$

💡

$k < 0$ 时图象递减，判断上方下方时别把不等号方向弄反。

例3

已知直线 $y_{1} = 2 x - 1$ 与直线 $y_{2} = - x + 5$ 交于点 P，求点 P 的坐标，并求不等式 $2 x - 1 > - x + 5$ 的解集。

💭 解题思路

联立两式求交点； $y_{1} > y_{2}$ 对应直线 $y_{1}$ 在 $y_{2}$ 上方的那段。

✍️ 解答过程

① 联立 $2 x - 1 = - x + 5$ ，得 $3 x = 6$ ，解得 $x = 2$

② 代入得 $y_{1} = 2 \times 2 - 1 = 3$ ，所以交点 $P (2, 3)$

③ 当 $x > 2$ 时直线 $y_{1}$ 在 $y_{2}$ 上方，故 $2 x - 1 > - x + 5$ 的解集为 $x > 2$

💡

比较两个函数值大小，就看哪条直线在上方，分界处正是交点的横坐标。

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