一次函数

重点考点初二

🧭 知识小背景

$y = k x + b$ 的图象是直线， $k$ 定增减、 $b$ 定截距。用待定系数法求解析式，并与一元一次方程、不等式、方程组一一对应。

图解：图中蓝线是一次函数 y=kx+b。它与 y 轴交点的高度就是截距 b；直线的倾斜由 k 决定：k>0 向上、k<0 向下。

📖 精讲

$y = k x + b (k \neq = 0)$ ，图象是直线。 $k$ 是斜率（ $k > 0$ 上升、 $k < 0$ 下降）， $b$ 是纵截距，即与 $y$ 轴交点 $(0, b)$ 。

待定系数法：设 $y = k x + b$ ，代入两个已知点解出 $k, b$ 。

🧩 典型例题3 道

例1

一次函数过 $(1, 3)$ 与 $(- 1, - 1)$ ，求解析式及它与两坐标轴围成的三角形面积。

✍️ 解答过程

${k + b = 3 - k + b = - 1$ 解得 $k = 2, b = 1$ ，故 $y = 2 x + 1$ 。

与 $x$ 轴交点 $(- \frac{1}{2}, 0)$ ，与 $y$ 轴交点 $(0, 1)$ 。面积 $= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{4}$ 。

例2

$y = (m - 2) x + 3$ 中 $y$ 随 $x$ 增大而减小，求 $m$ 的范围。

✍️ 解答过程

需 $k < 0$ ，即 $m - 2 < 0$ ， $m < 2$ 。

例3

（分段计费）出租车 $3$ 公里内 $8$ 元，超过部分每公里 $2$ 元。写出车费 $y$ 与里程 $x (x \geq 3)$ 的关系，并求 $10$ 公里车费。

✍️ 解答过程

$y = 8 + 2 (x - 3) = 2 x + 2 (x \geq 3)$ 。当 $x = 10$ 时 $y = 22$ 元。

打车费=起步价+每公里单价×里程，就是一次函数。杭州出租车起步13元含3公里，之后约2.5元/公里：y=2.5(x-3)+13。

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