等腰三角形与等边三角形

🧭 知识小背景

等腰三角形"等边对等角"、顶角平分线底边中线底边高三线合一；等边三角形三边三角都相等，是最对称好用的三角形。

📖 精讲

等腰三角形最核心的两句话：一是"等边对等角"——两条腰相等，所以两个底角也相等；二是"三线合一"——顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，这三条在等腰三角形里是同一条线。做题先分清"顶角"和"底角"：顶角是两腰夹的角，底角是腰和底边夹的角。碰到"一个内角是几度，求其余角"，要小心它没说是顶角还是底角，一般得分两种情况讨论，别漏解。等边三角形是特殊的等腰三角形，三边都相等、三个角都是 $60°$ ，它同时满足所有"等腰的性质"，是几何题里最好用的图形。求角时常配合三角形内角和 $180°$ 、外角等于不相邻两内角之和一起用。看到相等的边就联想等腰，看到 $60°$ 就联想等边，思路会顺很多。

🧩 典型例题3 道

例1

等腰三角形的一个内角为 $80°$ ，求另外两个角的度数。

💭 解题思路

$80°$ 没说是顶角还是底角，要分两种情况，再用内角和 $180°$ 。

✍️ 解答过程

① 若 $80°$ 是顶角：两底角相等，底角 $= (180° - 80°) \div 2 = 50°$ ，另两角为 $50°$ 、 $50°$

② 若 $80°$ 是底角：另一底角也是 $80°$ ，顶角 $= 180° - 80° - 80° = 20°$ ，另两角为 $80°$ 、 $20°$

③ 所以另外两角是 $50°, 50°$ 或 $80°, 20°$

💡

题目没指明是顶角还是底角时，一定要分类讨论，漏一种就丢分。

例2

在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 是底边 $B C$ 上的中线， $∠ B = 50°$ ，求 $∠ B A D$ 。

💭 解题思路

等腰三角形底边上的中线就是三线合一， $A D$ 同时是高、也是顶角平分线。

✍️ 解答过程

① 因为 $A B = A C$ ， $A D$ 是底边 $B C$ 上的中线，由三线合一得 $A D ⊥ B C$ ，即 $∠ A D B = 90°$

② 在 $△ A B D$ 中， $∠ B A D = 180° - ∠ A D B - ∠ B = 180° - 90° - 50° = 40°$

③ 所以 $∠ B A D = 40°$

💡

看到"底边上的中线（或高、或顶角平分线）"，立刻联想三线合一，能同时得到垂直和角平分。

例3

如图， $△ A B C$ 是等边三角形，点 $D$ 在 $B C$ 的延长线上，且 $C D = C A$ ，求 $∠ D$ 。

💭 解题思路

先由等边三角形得 $∠ A C B = 60°$ ，再用邻补角求 $∠ A C D$ ，最后在等腰 $△ A C D$ 中求角。

✍️ 解答过程

① 因为 $△ A B C$ 是等边三角形，所以 $∠ A C B = 60°$

② $∠ A C D$ 与 $∠ A C B$ 互为邻补角， $∠ A C D = 180° - 60° = 120°$

③ 因为 $C D = C A$ ， $△ A C D$ 是等腰三角形， $∠ D = ∠ C A D = (180° - 120°) \div 2 = 30°$

💡

等边三角形每个角都是 $60°$ ；抓住" $C D = C A$ 是等腰"这个条件，别忘了两底角相等。

🎬 讲解视频

🎬讲解视频位（可填 B 站 BV 号或视频地址）

发现讲解有误或想补充案例？点这里补充

← 返回初中·数学