反比例函数的实际应用

🧭 知识小背景

y=k/x描述"一个变大另一个就变小、乘积不变"的关系，像速度与时间、压强与面积，图象是两条不碰坐标轴的曲线。

📖 精讲

反比例函数的实际应用，本质就一句话：只要两个量的乘积不变，它们就成反比例，写成 $y = \frac{k}{x}$ 。做题先抓"谁乘谁是定值"——面积一定时长×宽不变，压力一定时压强×受力面积不变，杠杆里动力×动力臂不变，这个定值就是 $k$ 。找 $k$ 最快的办法：从题目或图象里挑一组对应的 $x$ 、 $y$ 代进去算。求出解析式后，代值求量、或反过来由一个量求另一个量，都是代入解方程。稍难的会带"范围"：注意实际中 $x$ 、 $y$ 一般都为正，且图象在第一象限是往下走的—— $x$ 越大 $y$ 越小。所以"面积不超过""至少几天"这类问题，先找临界那组数，再借单调性判断该取大于还是小于，别把不等号写反。

🧩 典型例题3 道

例1

一个面积恒为 $24 cm^{2}$ 的矩形，设它的长为 $y cm$ ，宽为 $x cm$ 。(1) 写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；(2) 当宽 $x = 4 cm$ 时，求长 $y$ 。

💭 解题思路

矩形面积＝长×宽是定值，所以长与宽成反比例，定值 $24$ 就是 $k$ 。写出解析式后代入求值即可。

✍️ 解答过程

① 由 $x y = 24$ 得 $y = \frac{24}{x}$ （ $x > 0$ ）；

② 把 $x = 4$ 代入： $y = \frac{24}{4} = 6$ ；

③ 所以此时长为 $6 cm$ 。

💡

实际问题里长、宽都是正数，务必注明 $x > 0$ ，图象只取第一象限那一支。

例2

某物体对地面的压力 $F = 600 N$ 保持不变，它对地面的压强 $p (Pa)$ 与受力面积 $S (m^{2})$ 成反比例。(1) 求 $p$ 与 $S$ 的关系式；(2) 当 $S = 0.2 m^{2}$ 时求 $p$ ；(3) 若要求压强不超过 $2000 Pa$ ，则受力面积至少多大？

💭 解题思路

压强＝压力÷受力面积，压力 $600$ 不变即为 $k$ 。第(3)问先找临界点，再用" $S$ 越大 $p$ 越小"定范围。

✍️ 解答过程

① 由 $p = \frac{F}{S}$ 得 $p = \frac{600}{S}$ （ $S > 0$ ）；

② 代入 $S = 0.2$ ： $p = \frac{600}{0.2} = 3000 Pa$ ；

③ 令 $p = 2000$ ，则 $S = \frac{600}{2000} = 0.3$ ；因 $S$ 越大 $p$ 越小，要 $p \leq 2000$ 须 $S \geq 0.3 m^{2}$ 。

💡

临界值算完别急着下结论，先想图象单调递减，判断取" $\geq$ "还是" $\leq$ "，符号别写反。

例3

用撬棍撬一块石头，阻力对撬棍的作用使动力 $F (N)$ 与动力臂 $L (m)$ 满足 $F L = 1200$ 。(1) 写出 $F$ 关于 $L$ 的函数关系式；(2) 当 $L = 1.5 m$ 时求所需动力 $F$ ；(3) 若工人最多能出 $500 N$ 的力，动力臂至少要多长才撬得动？

💭 解题思路

动力×动力臂是定值 $1200$ ，故 $F$ 与 $L$ 成反比例。第(3)问由"力够不够"转化成对 $L$ 求范围，用单调性判断。

✍️ 解答过程

① 由 $F L = 1200$ 得 $F = \frac{1200}{L}$ （ $L > 0$ ）；

② 代入 $L = 1.5$ ： $F = \frac{1200}{1.5} = 800 N$ ；

③ 令 $F = 500$ ，则 $L = \frac{1200}{500} = 2.4$ ；因 $L$ 越大 $F$ 越小，要 $F \leq 500$ 须 $L \geq 2.4 m$ 。

💡

这体现"动力臂越长越省力"，正是反比例图象随 $x$ 增大而下降的实际含义。

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