角平分线与线段垂直平分线
角平分线上的点到角两边距离相等，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，这两条"到处等距"的性质常用来证相等和找位置。
这块内容就两句话打底：角平分线上的点，到角两边的距离相等；垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等。用的时候盯紧“距离”二字——角平分线看的是到两边的垂线段，图里一定要出现两条垂直标记；垂直平分线看的是到两个端点的连线长。最常见的套路是“等量代换”：看到垂直平分线，就把一条线段悄悄换成它相等的“兄弟”，常用来凑周长；看到角平分线再加一条垂线，就把两条垂线段划等号，再配上勾股定理求边长。反过来也成立：到两边距离相等的点在角平分线上，到两端距离相等的点在垂直平分线上，这是证“某点在某线上”或作图找点的依据。一句话，先认准是哪种“等距”，再决定该代换还是该开方。
🧩 典型例题3 道
如图， 平分 ，点 在 上， 于 ， 于 ，已知 cm，求 。
在角平分线上，且到两边都作了垂线，直接套“角平分线上的点到角两边距离相等”。
① 因为 平分 ，且 ，；
② 由角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
③ 所以 cm。
用这条性质的前提是两条距离都必须垂直于角的两边，缺一不可。
如图， 中， 垂直平分 ，交 于 ，交 于 。若 ，，求 的周长。
在 的垂直平分线上，把 换成相等的 ，就能凑出 。
① 因为 垂直平分 ， 在垂直平分线上，所以 ；
② 的周长 ；
③ 。
关键是把 “搬”成 ，让 恰好拼成整条 。
如图， 中，， 平分 交 于 ， 于 。若 ，，求 。
、 分别是 到 、 的距离，先由角平分线得 ，再在直角三角形里用勾股定理。
① 因为 ，即 ，又 ，且 平分 ，由角平分线性质得 ；
② 在 中，，由勾股定理 ；
③ 。
说明 本身就是 到 的距离，因此 是打通全题的关键一步。