圆锥的侧面积与全面积

已知圆锥的底面半径 $r=3$,母线长 $l=5$,求它的侧面积和全面积。

思路:直接套公式,侧面积 $=\pi rl$,全面积再加上底面圆面积 $\pi r^2$。

解:

① 侧面积 $S_{侧}=\pi rl=\pi \times 3\times 5=15\pi$;

② 底面积 $S_{底}=\pi r^2=\pi \times 3^2=9\pi$;

③ 全面积 $S_{全}=S_{侧}+S_{底}=15\pi +9\pi =24\pi$。

点拨:母线 $l$ 是斜的那条,别拿高去乘。

一个圆锥的底面半径 $r=6$,高 $h=8$,求它的全面积。

思路:公式里要用母线 $l$,题目给的是高 $h$,先用勾股定理 $l^2=r^2+h^2$ 求出母线。

解:

① 求母线:$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$;

② 侧面积 $S_{侧}=\pi rl=\pi \times 6\times 10=60\pi$;

③ 全面积 $S_{全}=\pi rl+\pi r^2=60\pi +36\pi =96\pi$。

点拨:$r$、$h$、$l$ 构成直角三角形,$l$ 是斜边最长,千万别把高当母线代入。

把一个半径为 $12$、圆心角为 $120^{\circ }$ 的扇形围成一个圆锥,求圆锥的底面半径和全面积。

思路:扇形半径就是母线 $l=12$;扇形弧长等于底面圆周长,由此求底面半径 $r$;侧面积就是扇形面积。

解:

① 扇形弧长 $=\frac{120}{360}\times 2\pi \times 12=8\pi$,它等于底面周长 $2\pi r$,故 $2\pi r=8\pi$,得 $r=4$;

② 侧面积(即扇形面积)$S_{侧}=\frac{120}{360}\times \pi \times 12^2=48\pi$;

③ 全面积 $S_{全}=48\pi +\pi r^2=48\pi +\pi \times 4^2=48\pi +16\pi =64\pi$。

点拨:抓住「扇形弧长等于底面周长」这把钥匙,母线是扇形半径而不是圆锥的高。