二次函数与一元二次方程的关系

🧭 知识小背景

抛物线和x轴的交点横坐标，正好是对应二次方程的根；交两点、切一点、不相交，就对应判别式的正、零、负。

📖 精讲

看到二次函数和一元二次方程别慌，它俩其实是"一家人"。核心就一句：让函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 中的 $y = 0$ ，抛物线就跟 x 轴相交，这时解出的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，正好是交点的横坐标。所以"求交点"就是"解方程"。交点有几个，看判别式 $Δ = b^{2} - 4 a c$ ： $Δ > 0$ 有两个交点（相交）， $Δ = 0$ 有一个交点（顶点落在 x 轴上，相切）， $Δ < 0$ 没有交点（抛物线整个在 x 轴上方或下方）。做题就三步走：先令 $y = 0$ 写出方程，再解方程或算 $Δ$ ，最后写清坐标或范围。特别提醒：交点坐标纵坐标一定是 0，别漏写；和 y 轴的交点是令 $x = 0$ ，两者别搞混。

🧩 典型例题3 道

例1

求抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与 x 轴的交点坐标。

💭 解题思路

与 x 轴相交就是令 $y = 0$ ，把它当一元二次方程解出来，根就是交点横坐标。

✍️ 解答过程

① 令 $y = 0$ ，得 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$

② 十字相乘分解： $(x - 3) (x + 1) = 0$

③ 解得 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = - 1$ ，所以交点为 $(3, 0)$ 和 $(- 1, 0)$

💡

交点的纵坐标一定是 0，写坐标时别只写横坐标。

例2

已知抛物线 $y = x^{2} - 3 x + k$ 与 x 轴有两个不同的交点，求 $k$ 的取值范围。

💭 解题思路

有两个不同交点，说明对应方程有两个不相等实根，判别式 $Δ > 0$ 。

✍️ 解答过程

① 令 $y = 0$ ，得方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ ，其中 $a = 1$ ， $b = - 3$ ， $c = k$

② 由题意 $Δ = b^{2} - 4 a c > 0$ ，即 $(- 3)^{2} - 4 \times 1 \times k > 0$

③ 化简得 $9 - 4 k > 0$ ，解得 $k < \frac{9}{4}$

💡

"两个不同交点"对应 $Δ > 0$ ，若是"有交点"则应取 $Δ \geq 0$ 。

例3

抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，求 $△ A B C$ 的面积。

💭 解题思路

令 $y = 0$ 求 A、B（得到底边 AB），令 $x = 0$ 求 C（得到高），再套三角形面积公式。

✍️ 解答过程

① 令 $y = 0$ ： $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ， $(x - 1) (x - 3) = 0$ ，得 $A (1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ ，则 $A B = 3 - 1 = 2$

② 令 $x = 0$ ： $y = 3$ ，得 $C (0, 3)$ ，高为 $∣3∣ = 3$

③ 面积 $S = \frac{1}{2} \times A B \times 3 = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3$

💡

与 x 轴交点令 $y = 0$ ，与 y 轴交点令 $x = 0$ ，两者不要混淆。

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