根的判别式与根与系数的关系

🧭 知识小背景

判别式b²−4ac只看符号就能判断方程有没有实根、几个根；韦达定理则让你不解方程也能求两根的和与积。

📖 精讲

这一点有两把"钥匙"。第一把是判别式 $Δ = b^{2} - 4 a c$ ：不用解方程，只看它的符号就知道根的情况—— $Δ > 0$ 有两个不相等实根， $Δ = 0$ 有两个相等实根， $Δ < 0$ 没有实根。反过来，题目说"有两相等根""无实根",就是在告诉你 $Δ$ 等于几或大于小于几，据此可求参数。第二把是韦达定理（根与系数关系）：对 $a x^{2} + b x + c = 0$ ，两根满足 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ，让你不解方程就能算两根的和与积。求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 、 $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$ 这类式子时，先把它变成"和"与"积"的组合再代入。两个易错点：一是 $Δ = 0$ 别漏等号，二是韦达定理里那个负号别丢。

🧩 典型例题3 道

例1

不解方程，判断方程 $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 根的情况。

💭 解题思路

先算判别式 $Δ = b^{2} - 4 a c$ ，再看它的符号确定根的个数。

✍️ 解答过程

① 这里 $a = 2$ ， $b = - 3$ ， $c = 1$

② $Δ = (- 3)^{2} - 4 \times 2 \times 1 = 9 - 8 = 1$

③ 因为 $Δ = 1 > 0$ ，所以方程有两个不相等的实数根

💡

$Δ > 0$ 两不等根， $Δ = 0$ 两相等根， $Δ < 0$ 无实根。

例2

关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ 有两个相等的实数根，求 $k$ 的值。

💭 解题思路

两个相等实根就意味着 $Δ = 0$ ，据此列方程解出 $k$ 。

✍️ 解答过程

① $a = 1$ ， $b = - 2$ ， $c = k$

② 由题意 $Δ = (- 2)^{2} - 4 \times 1 \times k = 0$

③ 即 $4 - 4 k = 0$ ，解得 $k = 1$

💡

"两个相等实根"对应的是 $Δ = 0$ ，等号千万别漏。

例3

已知方程 $x^{2} - 5 x + 3 = 0$ 的两根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 的值。

💭 解题思路

先用韦达定理写出两根的和与积，再把 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 化成和、积的组合。

✍️ 解答过程

① 由韦达定理 $x_{1} + x_{2} = 5$ ， $x_{1} x_{2} = 3$

② $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$

③ $= 5^{2} - 2 \times 3 = 25 - 6 = 19$

💡

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ，前面的负号别弄丢。

🎬 讲解视频

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