幂的运算与乘法公式

🧭 知识小背景

同底数幂相乘除、幂的乘方这些口诀要记牢，再配上平方差、完全平方两个公式，能帮你把一堆乘法快速算对、不硬展开。

📖 精讲

这部分的核心就两句口诀:同底数幂相乘"底数不变、指数相加"( $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ ),幂的乘方"底数不变、指数相乘"( $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ ),千万别把加法看成乘法。乘法公式记牢两个:平方差 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ 、完全平方 $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ 。它们的价值是"看结构、套模型",遇到符合形状的乘法直接写结果,不用一项项展开。最容易踩的坑有三个:一是 $x^{5} + x^{5} = 2 x^{5}$ (同类项系数相加,指数不动),不是 $x^{10}$ ;二是完全平方老漏掉中间的 $2 ab$ ;三是括号前带减号时,去括号里面每一项都要变号。做题先判断"用哪条口诀或哪个公式",再动笔,又快又准。

🧩 典型例题3 道

例1

计算: $x^{2} \cdot x^{3} + (x^{2})^{2} \cdot x$

思路:同底数幂相乘指数相加,幂的乘方指数相乘,先各自算出再合并同类项。

解:

① $x^{2} \cdot x^{3} = x^{2 + 3} = x^{5}$

② $(x^{2})^{2} \cdot x = x^{4} \cdot x = x^{5}$

③ 原式 $= x^{5} + x^{5} = 2 x^{5}$

点拨: $x^{5} + x^{5}$ 是同类项相加,系数变指数不变,别写成 $x^{10}$ 。

例2

用乘法公式计算: $(2 a + 3) (2 a - 3) - (a - 2)^{2}$

思路:前一项符合平方差 $(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$ ,后一项用完全平方公式,再去括号合并。

解:

① $(2 a + 3) (2 a - 3) = (2 a)^{2} - 3^{2} = 4 a^{2} - 9$

② $(a - 2)^{2} = a^{2} - 4 a + 4$

③ 原式 $= 4 a^{2} - 9 - (a^{2} - 4 a + 4) = 4 a^{2} - 9 - a^{2} + 4 a - 4 = 3 a^{2} + 4 a - 13$

点拨:减号后面整个括号都要变号, $- (a^{2} - 4 a + 4)$ 三项都得改符号。

例3

已知 $x + y = 5$ , $x y = 6$ ,求 $x^{2} + y^{2}$ 的值。

思路:直接算 $x$ 、 $y$ 太麻烦,用完全平方公式 $(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ 变形整体代入。

解:

① 由公式得 $(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$

② 移项得 $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2 x y$

③ 代入 $= 5^{2} - 2 \times 6 = 25 - 12 = 13$

点拨: $(x + y)^{2}$ 展开别漏中间的 $2 x y$ ,用整体代入比先求 $x, y$ 快得多。

🎬 讲解视频

🎬讲解视频位（可填 B 站 BV 号或视频地址）

发现讲解有误或想补充案例？点这里补充

← 返回初中·数学