三角形中位线与梯形

🧭 知识小背景

连两边中点的中位线，平行于第三边且是它的一半，特别好用；梯形只有一组对边平行，常靠平移或作高转成三角形来解。

📖 精讲

三角形中位线是这块的主角：连两边中点，记住"又平行、又减半"。看到中点，第一反应就是连中位线或倍长中线。中点四边形是常客——不管原四边形长啥样，连一条对角线，两条中位线立刻把它变成平行四边形；最后是菱形还是矩形，全看对角线：对角线相等出菱形，对角线垂直出矩形。梯形只有一组对边平行，别硬算，常用三招：平移一条腰、平移一条对角线、或从上底端点向下底作高，把梯形拆成三角形加平行四边形。尤其对角线互相垂直的梯形，平移对角线凑出直角三角形，面积恰好是 $\frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ 。一句话：见中点想中位线，遇梯形想转化。

🧩 典型例题3 道

例1

$△ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $B C$ 、 $C A$ 的中点， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ， $C A = 10$ ，求 $△ D E F$ 的周长。

💭 解题思路

三条连线都是中位线，各等于它所平行的那条边的一半。

✍️ 解答过程

① $D$ 、 $E$ 是 $A B$ 、 $B C$ 的中点，故 $D E = \frac{1}{2} C A = \frac{1}{2} \times 10 = 5$

② $E$ 、 $F$ 是 $B C$ 、 $C A$ 的中点，故 $E F = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} \times 6 = 3$

③ $F$ 、 $D$ 是 $C A$ 、 $A B$ 的中点，故 $F D = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \times 8 = 4$

④ 周长 $= 5 + 3 + 4 = 12$

💡

中位线三角形的周长恰好是原三角形周长的一半。

例2

四边形 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别是 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $D A$ 的中点，求证四边形 $E F G H$ 是平行四边形。

💭 解题思路

连一条对角线，把两组中点转成两个三角形的中位线，凑出一组对边平行且相等。

✍️ 解答过程

① 连 $A C$ 。在 $△ A B C$ 中， $E$ 、 $F$ 是 $A B$ 、 $B C$ 中点，故 $E F ∥ A C$ 且 $E F = \frac{1}{2} A C$

② 在 $△ A D C$ 中， $H$ 、 $G$ 是 $D A$ 、 $D C$ 中点，故 $H G ∥ A C$ 且 $H G = \frac{1}{2} A C$

③ 所以 $E F ∥ H G$ 且 $E F = H G$ ，一组对边平行且相等， $E F G H$ 是平行四边形

💡

中点四边形的形状只由对角线决定：对角线相等则为菱形，对角线垂直则为矩形。

例3

梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A D = 3$ ， $B C = 7$ ，对角线 $B D = 6$ ，且 $A C ⊥ B D$ ，求梯形的面积。

💭 解题思路

对角线垂直的梯形，平移一条对角线，把梯形转化成一个直角三角形来求面积。

✍️ 解答过程

① 过 $D$ 作 $D E ∥ A C$ ，交 $B C$ 的延长线于 $E$ ，则四边形 $A C E D$ 是平行四边形， $C E = A D = 3$ ， $D E = A C$

② $B E = B C + C E = 7 + 3 = 10$ ；又 $A C ⊥ B D$ 且 $D E ∥ A C$ ，所以 $D E ⊥ B D$

③ 在 $R t △ B D E$ 中， $D E = B E^{2} - B D^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 64 = 8$ ，即 $A C = 8$

④ 平移不改变面积， $S_{梯形 A B C D} = S_{△ B D E} = \frac{1}{2} \cdot B D \cdot D E = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$

💡

对角线互相垂直时，平移对角线后梯形面积就等于 $\frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ 。

🎬 讲解视频

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