视图、投影与立体图形展开

🧭 知识小背景

从正面、上面、侧面看立体得到三视图，反过来能想象出立体样子；把立体沿棱剪开铺平就是展开图，用来算表面积。

📖 精讲

三视图和展开图是这一节的两大主角。看三视图记住“三个方向”：正面看得主视图、左面看得左视图、上面看得俯视图；由小正方体搭的几何体，俯视图每格标的数字就是那一摞有几个方块，正面看取每一列的最高，左面看取每一排的最高，别把行、列搞反。反过来给你视图去搭立体，就要边摆边验证三个方向都对。展开图这边最常考圆柱和圆锥：圆柱侧面摊平是矩形，矩形的长等于底面周长 $2 π r$ 、宽等于高；圆锥侧面摊平是扇形，扇形半径等于母线、弧长等于底面周长。求表面积就是“侧面加底面”，算侧面千万记牢周长和母线这两把钥匙，答案就稳了。

🧩 典型例题3 道

例1

一个圆柱的底面半径为 $3$ cm，高为 $4$ cm，求它侧面展开图的面积以及圆柱的表面积（结果用含 $π$ 的式子表示）。

💭 解题思路

圆柱侧面沿高剪开摊平是矩形，长等于底面周长、宽等于高；表面积等于侧面积加上两个底面圆的面积。

✍️ 解答过程

① 侧面展开成矩形，长 $= 2 π r = 2 π \times 3 = 6 π$ （cm），宽 $= 4$ cm，故侧面积 $= 6 π \times 4 = 24 π$ （cm²）。

② 两个底面面积 $= 2 \times π r^{2} = 2 π \times 3^{2} = 18 π$ （cm²）。

③ 表面积 $= 24 π + 18 π = 42 π$ （cm²）。

💡

侧面矩形的长是底面周长 $2 π r$ ，不要误记成直径 $2 r$ 。

例2

一个圆锥的底面半径为 $3$ ，母线长为 $5$ ，求它侧面展开扇形的圆心角度数和圆锥的侧面积。

💭 解题思路

圆锥侧面摊平是扇形，扇形半径等于母线、弧长等于底面周长；先用弧长公式求圆心角，再求侧面积。

✍️ 解答过程

① 底面周长即扇形弧长 $l = 2 π \times 3 = 6 π$ ，扇形半径 $R = 5$ 。

② 由弧长公式 $l = \frac{nπ R}{180}$ ，得 $6 π = \frac{nπ \times 5}{180}$ ，解得 $n = \frac{6 \times 180}{5} = 216$ （度）。

③ 侧面积 $= \frac{1}{2} l R = \frac{1}{2} \times 6 π \times 5 = 15 π$ 。

💡

扇形半径取的是母线而不是底面半径；侧面积也可用 $π r l = π \times 3 \times 5 = 15 π$ 复核。

例3

用若干个相同的小正方体搭成一个几何体，它的俯视图如下（方格中的数字表示该位置小正方体的个数）：第一行（后排）为 $3$ 、 $2$ ，第二行（前排）为 $1$ 、 $2$ 。求主视图、左视图中小正方形的个数，以及搭成这个几何体共用多少个小正方体。

💭 解题思路

俯视图数字之和就是总块数；主视图从正面看，每一列取该列各排的最大值；左视图从左面看，每一排取该排各列的最大值。

✍️ 解答过程

① 总块数 $= 3 + 2 + 1 + 2 = 8$ （个）。

② 主视图看两列：左列高 $= max (3, 1) = 3$ ，右列高 $= max (2, 2) = 2$ ，故小正方形个数 $= 3 + 2 = 5$ 。

③ 左视图看两排：后排高 $= max (3, 2) = 3$ ，前排高 $= max (1, 2) = 2$ ，故小正方形个数 $= 3 + 2 = 5$ 。

💡

主视图按“列取最高”、左视图按“排取最高”，别把行和列的方向弄反。

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