轴对称与轴对称图形

🧭 知识小背景

沿一条直线对折能完全重合就是轴对称，对称点连线被对称轴垂直平分；它常用来做最短路径这类"翻折找点"的题。

📖 精讲

轴对称的核心就一句话：沿一条直线对折，两边能完全盖住。这条直线叫对称轴，重合的点叫对应点。要牢牢记住两条"看家本领"：一是对称轴垂直平分每一对对应点的连线；二是对应线段、对应角都相等。坐标里最常考对称点：关于 $x$ 轴对称，横坐标不变、纵坐标变号；关于 $y$ 轴对称正好反过来，口诀是"对称谁谁不变，另一个变号"。折叠题的突破口是：折痕就是对应点连线的垂直平分线，于是折痕上的点到两个对应点距离相等，常把周长、边长巧妙转化。最经典的是"将军饮马"最短路径：直线同侧两点求 $P A + P B$ 最小，就把一点关于直线翻折到对面，连成一条直线，"化折为直"距离最短。抓住"对折重合、对应相等、化折为直"这三招，这一类题基本都能拿下。

🧩 典型例题3 道

例1

已知点 $A (3, - 2)$ ，分别求它关于 $x$ 轴和关于 $y$ 轴对称的点的坐标。

💭 解题思路

轴对称点的规律是"关于谁对称，谁那一项就不变，另一项变号"。

✍️ 解答过程

① 关于 $x$ 轴对称：横坐标 $3$ 不变，纵坐标 $- 2$ 变号为 $2$ ，得点 $(3, 2)$

② 关于 $y$ 轴对称：纵坐标 $- 2$ 不变，横坐标 $3$ 变号为 $- 3$ ，得点 $(- 3, - 2)$

💡

别把两种情况记混，变号的永远是与对称轴垂直方向上的那个坐标。

例2

把三角形 $A B C$ 沿直线 $D E$ 折叠，使点 $B$ 恰好与点 $A$ 重合， $D E$ 为折痕，点 $D$ 在 $A B$ 上。已知 $A C = 8$ ，三角形 $A D C$ 的周长为 $14$ ，求 $B C$ 的长。

💭 解题思路

折叠是轴对称，折痕 $D E$ 是对应点 $A$ 、 $B$ 连线的垂直平分线，所以 $D A = D B$ ，把 $A D$ 换成 $B D$ 就能凑出 $B C$ 。

✍️ 解答过程

① 由折叠知 $D E$ 垂直平分 $A B$ ，故 $D A = D B$

② 三角形 $A D C$ 周长 $= A D + D C + A C = 14$ ，即 $A D + D C = 14 - 8 = 6$

③ $B C = B D + D C = A D + D C = 6$

💡

折叠题的钥匙是"折痕即垂直平分线"，用 $D A = D B$ 做等量代换，把要求的边转化到已知周长里。

例3

点 $A (1, 3)$ 与点 $B (4, 1)$ 都在 $x$ 轴上方，在 $x$ 轴上求一点 $P$ ，使 $P A + P B$ 最小，并求这个最小值。

💭 解题思路

同侧两点求最短路径，用"将军饮马"——把其中一点关于 $x$ 轴翻折到对面，化折线为直线。

✍️ 解答过程

① 作 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A^{'} (1, - 3)$ ，则对 $x$ 轴上任意点都有 $P A = P A^{'}$

② 连接 $A^{'} B$ ，交 $x$ 轴于点 $P$ ，此时 $P A + P B = P A^{'} + P B = A^{'} B$ 最小

③ $A^{'} B = (4 - 1)^{2} + (1 - (- 3))^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ ，即最小值为 $5$

💡

只能翻折在"直线同侧"的点；两点连线与直线的交点才是所求 $P$ ，翻折后 $P A = P A^{'}$ 是不改变总长的关键。

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