分式与二次根式

难点初二

🧭 知识小背景

分式的分母 $\neq = 0$ 才有意义，值为零还需分子 $= 0$ ；二次根式 $a$ 要求 $a \geq 0$ ，同类才能合并。关键是通分、约分、化到最简。

📖 精讲

$a$ 要求 $a \geq 0$ 。最简二次根式：被开方数不含分母、不含能开尽的因数；同类二次根式才能合并；分母含根号要有理化。

忽略隐含取值范围、化简不到最简、符号处理出错。

🧩 典型例题3 道

例1

若分式 $\frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ 的值为零，求 $x$ 。

✍️ 解答过程

需分子 $= 0$ 且分母 $\neq = 0$ 。由 $x^{2} - 1 = 0$ 得 $x = \pm 1$ ；由 $x - 1 \neq = 0$ 得 $x \neq = 1$ 。故 $x = - 1$ 。

💡

只看分子 $= 0$ 而漏掉分母 $\neq = 0$ ，是最大陷阱。

例2

化简： $(1 - \frac{1}{x}) \div \frac{x ^{2} - 1}{x}$ 。

✍️ 解答过程

原式 $= \frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x}{( x + 1 ) ( x - 1 )} = \frac{1}{x + 1}$ 。

💡

先把括号内通分，除法变乘法再约分。

例3

计算： $8 - 2 + 12 \div 3$ 。

✍️ 解答过程

$8 = 22$ ， $12 \div 3 = 4 = 2$ ，原式 $= 22 - 2 + 2 = 2 + 2$ 。

算平均速度、电阻并联都会出现分式。

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