矩形、菱形与正方形

🧭 知识小背景

它们都是特殊的平行四边形：矩形四角是直角、菱形四边相等、正方形两样都占；抓住各自对角线的特点就能判定和计算。

📖 精讲

这三种图形都是特殊的平行四边形，先记牢最本质的区别：矩形“四个角都是直角”，菱形“四条边都相等”，正方形“两样都占”。解题的钥匙在对角线：矩形对角线相等且互相平分，对角线的一半构成等腰三角形，出现 $6 0^{\circ}$ 就变等边，能直接求边长；菱形对角线互相垂直平分，把菱形切成四个全等的直角三角形，用勾股定理求边、用“对角线乘积除以 $2$ ”求面积最快；正方形三条全占。判定题反过来用：平行四边形加对角线相等等于矩形，加对角线垂直等于菱形，两个都加就是正方形。计算时先画图标出直角和相等的边，再选对应性质，别把菱形的边和对角线搞混。

🧩 典型例题3 道

例1

矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $∠ A O B = 6 0^{\circ}$ ， $A B = 3$ ，求对角线 $A C$ 的长。

💭 解题思路

矩形对角线相等且互相平分，则 $O A = O B$ ；再有一个 $6 0^{\circ}$ 就能判定等边三角形。

✍️ 解答过程

① 矩形对角线相等且互相平分， $O A = O B = \frac{1}{2} A C$ ；

② $△ A O B$ 中 $O A = O B$ 且 $∠ A O B = 6 0^{\circ}$ ，故为等边三角形， $O A = A B = 3$ ；

③ $A C = 2 O A = 2 \times 3 = 6$ 。

💡

矩形里“对角线的一半”常与等腰、等边挂钩，抓住 $O A = O B = O C = O D$ 。

例2

菱形 $A B C D$ 的两条对角线长分别为 $A C = 8$ 、 $B D = 6$ ，求菱形的边长和面积。

💭 解题思路

菱形对角线互相垂直平分，取一半用勾股定理求边；面积等于对角线乘积的一半。

✍️ 解答过程

① 对角线交于点 $O$ ， $O A = \frac{1}{2} \times 8 = 4$ ， $O B = \frac{1}{2} \times 6 = 3$ ，且 $A C ⊥ B D$ ；

② 在 $R t △ A O B$ 中， $A B = O A^{2} + O B^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 5$ ，即边长为 $5$ ；

③ 面积 $S = \frac{1}{2} \times A C \times B D = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$ 。

💡

菱形面积用“对角线乘积 $\div 2$ ”最快，别套用普通平行四边形的底乘高绕远路。

例3

正方形 $A B C D$ 的边长为 $6$ ，点 $E$ 在边 $C D$ 上， $D E = 2$ ，连接 $A E$ ，求 $A E$ 的长及 $tan ∠ D A E$ 。

💭 解题思路

正方形四角都是直角， $△ A D E$ 是直角三角形，用勾股定理求斜边，正切等于对边比邻边。

✍️ 解答过程

① 正方形中 $∠ D = 9 0^{\circ}$ ， $A D = 6$ ， $D E = 2$ ；

② $A E = A D^{2} + D E^{2} = 6^{2} + 2^{2} = 40 = 210$ ；

③ $tan ∠ D A E = \frac{D E}{A D} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 。

💡

正方形每个角都是直角，见到它就优先找直角三角形和勾股定理。

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