三角形的边角关系与内外角
🧭 知识小背景
三角形任意两边之和大于第三边、内角和180度、外角等于不相邻两内角之和，这几条是判断和计算三角形的常用武器。
📖 精讲
这一点要记牢三件“武器”。第一，三边关系：任意两边之和大于第三边，实用版是“两边之差＜第三边＜两边之和”，凡是判断三条线段能否拼成三角形、或求第三边范围，直接套这个双向不等式最快。第二，内角和恒等于180度，三个角知道两个就能求第三个。第三，外角等于和它不相邻的两个内角之和（也等于180度减相邻内角），求外角、或由外角反求内角都靠它，做题先看清给的是内角还是外角，别把相邻的错当成不相邻。遇到等腰三角形只告诉你两条边长时，一定要分“谁是腰、谁是底”两种情况讨论，再用三边关系逐一检验，凑不成三角形的那种要果断舍掉，这是最常丢分的地方。
🧩 典型例题3 道
例1
已知三角形的两边长分别为 和 ，求第三边 的取值范围。
💭 解题思路
不能只想两边之和大于第三边，还要想两边之差小于第三边，用“差＜第三边＜和”一次搞定。
✍️ 解答过程
① 两边之和：
② 两边之差：
③ 由三边关系得
💡
范围两端都取不到等号（开区间），端点 、 都拼不成三角形，不能取等。
例2
在 中，， 的一个外角等于 ，求 。
💭 解题思路
外角等于与它不相邻的两个内角之和， 的外角正好等于 ，直接列式。
✍️ 解答过程
① 由外角定理：
② 代入 ：
③ 得
💡
的外角配的是“不相邻”的 、，别错配成相邻的 。
例3
等腰三角形的两条边长分别为 和 ，求它的周长。
💭 解题思路
没说哪条是腰，要分“腰为 ”和“腰为 ”两种情况，每种都用三边关系检验能否成立。
✍️ 解答过程
① 若腰为 ，三边为 ：，不满足两边之和大于第三边，舍去
② 若腰为 ，三边为 ：，满足，成立
③ 周长
💡
分类后必须逐一用三边关系验证，凑不成三角形的那组要坚决舍掉，否则会多出错误答案。
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