正多边形、弧长与扇形面积

🧭 知识小背景

各边各角都相等的正多边形能和圆结合来算；弧长和扇形面积都按圆心角占360度的比例来求，记住公式代进去就行。

📖 精讲

这块内容抓两条主线。第一条是正多边形：正 $n$ 边形的中心角等于 $360° \div n$ ，内角等于 $\frac{( n - 2 ) \times 180°}{n}$ ，还要记住正六边形的边长恰好等于外接圆半径，这个结论超常用。第二条是弧长和扇形面积，本质都是"这段圆心角占整个 $360°$ 的比例"。弧长 $l = \frac{nπ R}{180}$ ，扇形面积 $S = \frac{nπ R ^{2}}{360}$ ，另外有个偷懒公式 $S = \frac{1}{2} l R$ ，已知弧长时用它更快。最容易错的是把两个分母记混：弧长除 $180$ 、面积除 $360$ ，下笔前先看清求的是长度还是面积。碰到弓形、阴影这类组合图形，套路就是扇形加减三角形——先定中心角，再拆图形。

🧩 典型例题3 道

例1

已知一段弧所对的圆心角为 $120°$ ，半径 $R = 6$ ，求这段弧的弧长。

💭 解题思路

直接套弧长公式 $l = \frac{nπ R}{180}$ ，把圆心角的度数 $n$ 和半径代进去算。

✍️ 解答过程

① 写出弧长公式： $l = \frac{nπ R}{180}$

② 代入 $n = 120$ ， $R = 6$ ： $l = \frac{120 π \times 6}{180}$

③ 计算： $l = \frac{720 π}{180} = 4 π$

💡

公式里 $n$ 只取度数、不带单位；分母是 $180$ 不是 $360$ 。

例2

扇形的半径为 $3$ ，圆心角为 $150°$ ，求它的弧长和面积。

💭 解题思路

弧长用 $l = \frac{nπ R}{180}$ ，面积用 $S = \frac{nπ R ^{2}}{360}$ ，再用 $S = \frac{1}{2} l R$ 检验一下。

✍️ 解答过程

① 弧长： $l = \frac{150 π \times 3}{180} = \frac{5 π}{2}$

② 面积： $S = \frac{150 π \times 3 ^{2}}{360} = \frac{1350 π}{360} = \frac{15 π}{4}$

③ 验证： $S = \frac{1}{2} l R = \frac{1}{2} \times \frac{5 π}{2} \times 3 = \frac{15 π}{4}$ ，两法一致

💡

扇形面积分母是 $360$ ，弧长分母是 $180$ ，千万别记混。

例3

半径为 $2$ 的圆内接正六边形，求由一条边和它所对的弧围成的弓形面积。

💭 解题思路

正六边形中心角 $= 360° \div 6 = 60°$ ；弓形面积 $=$ 扇形面积 $-$ 三角形面积。

✍️ 解答过程

① 中心角： $\frac{360°}{6} = 60°$ ，两条半径与一条边组成边长为 $2$ 的等边三角形

② 扇形面积： $S_{扇} = \frac{60 π \times 2 ^{2}}{360} = \frac{2 π}{3}$

③ 三角形面积： $S_{△} = \frac{3}{4} \times 2^{2} = 3$

④ 弓形面积： $S = S_{扇} - S_{△} = \frac{2 π}{3} - 3$

💡

正六边形边长等于外接圆半径，对应的中心三角形恰是等边三角形。

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