二次函数

重点难点考点初三

🧭 知识小背景

$y = a x^{2} + b x + c$ 的图象是抛物线， $a$ 定开口，对称轴 $x = - \frac{b}{2 a}$ ，顶点即最值点。一般式、顶点式、交点式各有妙用。

图解：图中蓝色曲线是二次函数（抛物线）。开口向上说明 a>0、有最低点；红点是顶点，也就是最值点，虚线是对称轴 x=−b/2a，抛物线关于它左右对称。

📖 精讲

$y = a x^{2} + b x + c (a \neq = 0)$ ，图象是抛物线。 $a > 0$ 开口向上有最小值， $a < 0$ 向下有最大值；对称轴 $x = - \frac{b}{2 a}$ ，顶点是最值点。

求解析式、最值（利润/面积）、平移“左加右减、上加下减”、与几何结合的存在性问题。

🧩 典型例题3 道

例1

抛物线过 $(- 1, 0)$ 、 $(3, 0)$ ，顶点纵坐标为 $- 4$ ，求解析式。

✍️ 解答过程

用交点式 $y = a (x + 1) (x - 3)$ ，对称轴 $x = 1$ ，顶点 $(1, - 4)$ 。代入： $- 4 = a \times 2 \times (- 2) = - 4 a$ ， $a = 1$ 。故 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 。

例2

把 $y = x^{2}$ 先向右平移 $2$ 、再向下平移 $3$ ，求新解析式。

✍️ 解答过程

右移 $2$ 把 $x$ 换成 $x - 2$ ，下移 $3$ 整体减 $3$ ，得 $y = (x - 2)^{2} - 3$ 。

例3

（利润最大）每件利润 $10$ 元时日售 $100$ 件，每涨价 $1$ 元日少售 $5$ 件。设涨价 $x$ 元，求最大日利润。

✍️ 解答过程

$W = (10 + x) (100 - 5 x) = - 5 x^{2} + 50 x + 1000$ 。对称轴 $x = 5$ ，故涨价 $5$ 元时最大， $W = 15 \times 75 = 1125$ 元。

投篮的球、喷泉的水柱、拱桥都是抛物线。求'什么时候最高/利润最大'就是求顶点。

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