一元一次不等式(组)的应用

🧭 知识小背景

处理"至少、不超过、最多"这种范围问题，列不等式求解集，注意乘除负数要变号，组则取各解的公共部分。

📖 精讲

这类应用题的核心是把中文"翻译"成不等式。先抓关键词定方向："至少""不少于""不低于"是 $\geq$ ，"最多""不超过""不高于"是 $\leq$ ，"超过""多于"是 $>$ ，"不足""少于"是 $<$ 。做题四步走：设未知数→找不等关系列式→解不等式→回到实际检验答案。解的时候记住两条命根子：不等式两边同乘或同除一个负数，方向一定要变号；求出解集后，因为人数、个数、钱数往往是整数，要在解集里挑合适的整数。碰到"不等式组"，就是几个条件同时成立，分别解出每个不等式，最后取它们的公共部分（数轴上重叠的那段），里面有几个整数就有几种方案。最容易丢分的地方：忘了变号、把"不超过"当成严格小于、以及算完不检验实际意义。

🧩 典型例题3 道

例1

小明带 $50$ 元去买笔记本，每本 $8$ 元，他最多能买多少本？

💭 解题思路

设买 $x$ 本，总钱数不超过 $50$ 元，列不等式 $8 x \leq 50$ ，再取满足条件的最大整数。

✍️ 解答过程

① 设买 $x$ 本，依题意得 $8 x \leq 50$ ；

② 解得 $x \leq 6.25$ ；

③ 因 $x$ 为非负整数，故 $x$ 最大取 $6$ ，即最多买 $6$ 本。

💡

"最多"对应" $\leq$ "，且本数必须取整数，不能直接写成 $6.25$ 本。

例2

甲、乙两家健身房收费不同：甲每次 $30$ 元；乙先办卡 $200$ 元，之后每次只需 $10$ 元。一年中锻炼多少次时，选乙更省钱？

💭 解题思路

设锻炼 $x$ 次，分别表示两家的花费，"乙更省钱"就是乙的花费小于甲，列不等式求解。

✍️ 解答过程

① 设锻炼 $x$ 次，甲花费 $30 x$ 元，乙花费 $(200 + 10 x)$ 元；

② 乙更省钱即 $200 + 10 x < 30 x$ ；

③ 移项得 $200 < 20 x$ ，解得 $x > 10$ ，即一年锻炼超过 $10$ 次时选乙更省钱。

💡

"更省钱"是严格小于，用" $<$ "；若问"至少多少次"，再结合整数取 $x = 11$ 。

例3

某班计划购买篮球和足球共 $10$ 个，篮球每个 $80$ 元，足球每个 $60$ 元。若总费用不少于 $640$ 元且不超过 $700$ 元，共有几种购买方案？

💭 解题思路

设篮球 $x$ 个，足球 $(10 - x)$ 个，把"不少于、不超过"写成不等式组，求 $x$ 的整数解个数。

✍️ 解答过程

① 设买篮球 $x$ 个，足球 $(10 - x)$ 个，总费用为 $80 x + 60 (10 - x) = 20 x + 600$ （元）；

② 依题意得 ${20 x + 600 \geq 640 20 x + 600 \leq 700$ ；

③ 解得 ${x \geq 2 x \leq 5$ ，即 $2 \leq x \leq 5$ ；

④ $x$ 取整数 $2, 3, 4, 5$ ，共 $4$ 种购买方案。

💡

不等式组要取各解的公共部分，还要注意 $x$ 是非负整数且 $0 \leq x \leq 10$ 。

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