二次根式的性质与运算

🧭 知识小背景

带根号的式子，根号里必须非负；会化成最简、合并同类根式、分母有理化，就能顺畅地做加减乘除和化简。

📖 精讲

二次根式就是带根号的式子，学它先记两条底线：根号里必须非负（ $a$ 里 $a \geq 0$ ），还有 $a^{2} = ∣ a ∣$ ，别丢了绝对值。运算前先把每个根式化成"最简"：被开方数里能开出来的平方因数要提到根号外，比如 $12 = 23$ ；分母带根号要有理化，上下同乘一个根号。加减像合并同类项，只有被开方数完全一样才能加减系数；乘除就把根号里的数直接乘或除。遇到 $\frac{1}{3}$ 这类，乘 $3$ 化掉分母；遇到 $\frac{1}{5 - 2}$ 就乘 $5 + 2$ 配平方差。最容易错的是化简不彻底、忘了绝对值、把不同类的硬凑到一起，做完回头检查一遍就稳了。

🧩 典型例题3 道

例1

把下列二次根式化成最简二次根式： $12$ 与 $\frac{2}{3}$ 。

💭 解题思路

先找被开方数里的平方因数提到根号外；带分数的先把分母有理化。

✍️ 解答过程

① $12 = 4 \times 3 = 23$

② $\frac{2}{3} = \frac{2}{3} = \frac{2 \times 3}{3 \times 3} = \frac{6}{3}$

💡

最简二次根式要求被开方数不含分母、也不含能开尽的因数。

例2

计算 $8 + 18 - 2$ 。

💭 解题思路

先把每个二次根式化成最简形式，再合并被开方数相同的同类二次根式。

✍️ 解答过程

① $8 = 22$ ， $18 = 32$

② 原式 $= 22 + 32 - 2$

③ $= (2 + 3 - 1) 2 = 42$

💡

只有被开方数相同的最简二次根式才能合并，系数按加减法算。

例3

计算 $(5 + 2) (5 - 2) + \frac{3}{3}$ 。

💭 解题思路

前一部分用平方差公式，后一部分分母有理化，最后把结果相加。

✍️ 解答过程

① $(5 + 2) (5 - 2) = (5)^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1$

② $\frac{3}{3} = \frac{3 \times 3}{3 \times 3} = \frac{3 3}{3} = 3$

③ 原式 $= 1 + 3$

💡

$(a)^{2} = a$ （ $a \geq 0$ ），乘法遇到 $(a + b) (a - b)$ 结构先想平方差公式。

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