有理数与实数

重点初一

🧭 知识小背景

整数与分数统称有理数，无限不循环小数（如 $π$ 、 $2$ ）是无理数，合起来即实数。核心是数轴、相反数与绝对值 $∣ a ∣ \geq 0$ ，以及“先定符号再计算”的法则。

图解：数轴把每个实数对应到一个点：原点是 0，向右为正、向左为负；两点间的距离就是它们数值之差的绝对值。

📖 精讲

有理数 = 整数与分数（凡能写成 $\frac{p}{q}$ 的数）；无理数 = 无限不循环小数（如 $π$ 、 $2$ ）。二者合起来就是实数，与数轴上的点一一对应。

$- a$ 不一定是负数（当 $a < 0$ 时 $- a > 0$ ）； $- 2^{2} = - 4$ 与 $(- 2)^{2} = 4$ 完全不同。

🧩 典型例题3 道

例1

计算： $- 2^{2} + (- 3)^{2} \times ∣ - 2∣ - (- 1)^{2024}$ 。

✍️ 解答过程

$- 2^{2} = - 4$ （先乘方再取负）， $(- 3)^{2} = 9$ ， $∣ - 2∣ = 2$ ， $(- 1)^{2024} = 1$ 。

原式 $= - 4 + 9 \times 2 - 1 = 13$ 。

💡

$- 2^{2}$ 与 $(- 2)^{2}$ 的区别是最常见失分点。

例2

已知 $∣ a ∣ = 3$ ， $∣ b ∣ = 2$ ，且 $a < b$ ，求 $a + b$ 。

✍️ 解答过程

由 $∣ a ∣ = 3$ 得 $a = \pm 3$ ，由 $∣ b ∣ = 2$ 得 $b = \pm 2$ ；再用 $a < b$ 筛选。

当 $a = - 3, b = 2$ 时 $a + b = - 1$ ；当 $a = - 3, b = - 2$ 时 $a + b = - 5$ 。（ $a = 3$ 均舍去）

所以 $a + b = - 1$ 或 $- 5$ 。

💡

绝对值先分类，再用不等条件取舍。

例3

数轴上 $A$ 、 $B$ 两点表示 $- 1$ 和 $x$ ，若 $A B = 4$ ，求 $x$ 。

✍️ 解答过程

$A B = ∣ x - (- 1) ∣ = ∣ x + 1∣ = 4$ ，所以 $x + 1 = 4$ 或 $x + 1 = - 4$ ，解得 $x = 3$ 或 $x = - 5$ 。

温度零下、电梯地下层、盈亏，都是负数的现实来源。

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