平移、旋转与中心对称

🧭 知识小背景

平移是整体挪、旋转是绕点转、中心对称是转180度，这三种变换都不改变图形的形状和大小，只改变位置和方向。

📖 精讲

这三种变换有个共同点：都是"全等变换"——图形挪来挪去、转来转去，形状和大小一点不变，只有位置或方向改变。区分它们看关键词：平移是"整体沿直线滑动"，对应点连线平行且相等；旋转是"绕一个定点转某个角度"，对应点到旋转中心距离相等；中心对称是旋转的特例，绕对称中心转 $180°$ ，对应点连线都过中心且被中心平分。做题三个抓手：一看对应点（找准像与原像谁对谁），二看不变量（对应线段、对应角都相等），三看中心或方向。特别提醒：旋转和中心对称一定要说清"绕哪个点、转多少度、朝哪个方向"，中心对称图形与两图形成中心对称是两码事，别混。坐标里记牢：关于原点对称，点 $(x, y)$ 变成 $(- x, - y)$ ，这是最常考的一步。

🧩 典型例题3 道

例1

把点 $A (3, - 2)$ 先向左平移 $4$ 个单位，再向上平移 $5$ 个单位，得到点 $A^{'}$ 。求 $A^{'}$ 的坐标。

💭 解题思路

平移只改坐标，向左减横坐标，向上加纵坐标，分别算。

✍️ 解答过程

① 向左平移 $4$ 个单位：横坐标 $3 - 4 = - 1$ ，纵坐标不变，得 $(- 1, - 2)$ 。

② 再向上平移 $5$ 个单位：纵坐标 $- 2 + 5 = 3$ ，横坐标不变。

③ 所以 $A^{'} (- 1, 3)$ 。

💡

左减右加看横坐标、下减上加看纵坐标，别把方向记反。

例2

已知点 $B (- 2, 5)$ 与点 $C$ 关于原点成中心对称，求点 $C$ 的坐标；并判断线段 $O B$ 与 $O C$ 的关系。

💭 解题思路

关于原点对称就是绕原点转 $180°$ ，坐标取相反数；对应点连线过中心且被平分。

✍️ 解答过程

① 关于原点对称： $(x, y) \to (- x, - y)$ ，故 $C (2, - 5)$ 。

② $B$ 、 $O$ 、 $C$ 三点共线，且 $O$ 是 $B C$ 中点，所以 $O B = O C$ 。

③ 即 $B$ 、 $C$ 关于原点 $O$ 对称， $O B$ 与 $O C$ 在同一直线上且相等。

💡

关于原点对称，横纵坐标同时变号，缺一不可。

例3

如图，把 $△ A B C$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90°$ 得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 。已知 $∠ B A C = 50°$ ， $A B = 4$ ， $O A = 3$ 。求 $∠ B^{'} A^{'} C^{'}$ 、 $A^{'} B^{'}$ 的长及 $O A^{'}$ 的长。

💭 解题思路

旋转是全等变换，对应角、对应边都不变；旋转中心到对应点距离相等。

✍️ 解答过程

① 旋转不改变形状大小，故 $∠ B^{'} A^{'} C^{'} = ∠ B A C = 50°$ 。

② 对应边相等，故 $A^{'} B^{'} = A B = 4$ 。

③ $A^{'}$ 是 $A$ 的对应点， $O$ 是旋转中心，故 $O A^{'} = O A = 3$ 。

💡

旋转的三大不变量——对应边相等、对应角相等、到中心距离相等，旋转角不影响这些量。

🎬 讲解视频

🎬讲解视频位（可填 B 站 BV 号或视频地址）

发现讲解有误或想补充案例？点这里补充

← 返回初中·数学