方差与数据的波动

某射手5次射击的成绩(单位:环)为 $8,9,7,10,6$,求这组数据的方差。

思路:方差要先求平均数,再算各数据与平均数之差的平方和,最后除以个数。

解:

① 求平均数:$\bar{x}=\frac{8+9+7+10+6}{5}=\frac{40}{5}=8$。

② 算各偏差的平方:$(8-8{)}^2=0$,$(9-8{)}^2=1$,$(7-8{)}^2=1$,$(10-8{)}^2=4$,$(6-8{)}^2=4$。

③ 求方差:$s^2=\frac{0+1+1+4+4}{5}=\frac{10}{5}=2$。

点拨:偏差要先平方再相加,最后一定记得除以数据个数 $5$。

甲、乙两名同学5次测验成绩(单位:分)如下,甲:$9,8,9,8,6$;乙:$10,6,10,6,8$。试比较谁的成绩更稳定。

思路:先验证两人平均分是否相同,平均数相同时谁的方差小谁就更稳定。

解:

① 求平均数:${\bar{x}}_{甲}=\frac{9+8+9+8+6}{5}=8$,${\bar{x}}_{乙}=\frac{10+6+10+6+8}{5}=8$,两人相同。

② 算甲的方差:$s_{甲}^2=\frac{1^2+0^2+1^2+0^2+(-2{)}^2}{5}=\frac{6}{5}=1.2$。

③ 算乙的方差:$s_{乙}^2=\frac{2^2+(-2{)}^2+2^2+(-2{)}^2+0^2}{5}=\frac{16}{5}=3.2$。

④ 比较:因为 $s_{甲}^2<s_{乙}^2$,所以甲的成绩更稳定。

点拨:比较稳定性必须先看平均数是否相同,再比方差,方差小更稳定。

已知一组数据 $a,b,c$ 的平均数为 $5$,方差为 $2$。求新数据 $2a+1,2b+1,2c+1$ 的平均数和方差。

思路:利用方差性质——数据都乘 $k$ 再加 $m$,平均数变为 $k\bar{x}+m$,方差变为 $k^2{s}^2$。

解:

① 求新平均数:${\bar{x}}^{\prime }=2\times 5+1=11$。

② 分析方差:数据同时乘 $2$ 使方差变为 $2^2=4$ 倍,再加 $1$ 不改变方差。

③ 计算新方差:$s^{\prime 2}=2^2\times 2=8$。

点拨:加常数方差不变,乘 $k$ 方差变 $k^2$ 倍,别把加上的常数也平方算进去。