a、b、c 对二次函数图象的作用

🧭 知识小背景

a定开口方向和胖瘦、c定和y轴的交点、a与b一起定对称轴左右，看图就能反推这三个系数的正负。

📖 精讲

记住三句口诀，看图就能定系数。第一， $a$ 管开口：向上 $a > 0$ ，向下 $a < 0$ ；开口越窄 $∣ a ∣$ 越大，越宽越小。第二， $c$ 管与 $y$ 轴交点：令 $x = 0$ 得 $y = c$ ，交点在正半轴 $c > 0$ ，负半轴 $c < 0$ ，过原点 $c = 0$ 。第三， $a$ 、 $b$ 合起来管对称轴 $x = - \frac{b}{2 a}$ ，判断 $b$ 记住"左同右异"：对称轴在 $y$ 轴左边 $a$ 、 $b$ 同号，右边异号，落在 $y$ 轴上则 $b = 0$ 。再补两个常考点：与 $x$ 轴交点个数看 $Δ = b^{2} - 4 a c$ ，两个交点 $Δ > 0$ 、一个 $Δ = 0$ 、没有 $Δ < 0$ ；要判断 $a + b + c$ 、 $a - b + c$ 的正负，就是把 $x = 1$ 、 $x = - 1$ 代进去，看对应点在 $x$ 轴上方还是下方。反过来给图象反推符号，用的还是这套逻辑。

🧩 典型例题3 道

例1

二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象开口向上，与 $y$ 轴交于负半轴，对称轴在 $y$ 轴右侧，判断 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的符号。

💭 解题思路

开口定 $a$ ，与 $y$ 轴交点定 $c$ ，对称轴位置结合 $x = - \frac{b}{2 a}$ 定 $b$ 。

✍️ 解答过程

① 开口向上，所以 $a > 0$ ；

② 图象与 $y$ 轴交于负半轴，即 $x = 0$ 时 $y = c < 0$ ，所以 $c < 0$ ；

③ 对称轴 $x = - \frac{b}{2 a} > 0$ ，又 $a > 0$ ，所以 $- \frac{b}{2 a} > 0$ 要求 $b < 0$ 。

💡

对称轴左右与 $b$ 的符号遵循"左同右异"，对称轴在右侧时 $a$ 、 $b$ 异号。

例2

二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象开口向下，对称轴在 $y$ 轴左侧，与 $x$ 轴有两个交点，且与 $y$ 轴交于正半轴。判断 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 及 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 的符号。

💭 解题思路

前三个符号照常判断；与 $x$ 轴交点个数决定 $Δ$ 的符号。

✍️ 解答过程

① 开口向下， $a < 0$ ；与 $y$ 轴交于正半轴， $x = 0$ 时 $y = c > 0$ ，所以 $c > 0$ ；

② 对称轴 $x = - \frac{b}{2 a} < 0$ ，而 $a < 0$ ，所以 $b < 0$ （左同右异，此时同号）；

③ 与 $x$ 轴有两个交点，方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不等实根，所以 $Δ = b^{2} - 4 a c > 0$ 。

💡

"左同右异"要记牢——对称轴在 $y$ 轴左侧， $a$ 、 $b$ 同号。

例3

二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象开口向上，对称轴为直线 $x = 1$ ，且图象过点 $(- 1, 0)$ 。判断 $a + b + c$ 、 $2 a + b$ 的符号，并求图象与 $x$ 轴另一交点的坐标。

💭 解题思路

$x = 1$ 时的函数值即 $a + b + c$ ；由对称轴 $- \frac{b}{2 a} = 1$ 得 $2 a + b$ ；两交点关于对称轴对称求另一点。

✍️ 解答过程

① 对称轴 $x = - \frac{b}{2 a} = 1$ ，即 $b = - 2 a$ ，所以 $2 a + b = 2 a + (- 2 a) = 0$ ；

② 开口向上且过 $(- 1, 0)$ ，顶点在 $x = 1$ 处取最小值且位于 $x$ 轴下方，故 $x = 1$ 时 $y = a + b + c < 0$ ；

③ 两交点关于 $x = 1$ 对称， $(- 1, 0)$ 到对称轴距离为 $2$ ，另一交点为 $(3, 0)$ 。

💡

$a + b + c$ 就是 $x = 1$ 的函数值，看该处的点在 $x$ 轴上方还是下方即可定正负。

🎬 讲解视频

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