切线的性质与判定

🧭 知识小背景

切线和圆只碰一个点，且垂直于过切点的半径；判定切线常用"有半径、证垂直"或"作垂直、证等于半径"两条思路。

📖 精讲

切线这块，记住一句口诀就够用："看见切线连半径，半径切线必垂直"。这条垂直关系是解题的总开关——凡是遇到切线，第一反应就是连过切点的半径，立刻得到一个直角，后面再配合勾股、三角函数或角的转化去算。判定切线正好反过来，看点在不在圆上分两招：点已在圆上，就"连半径、证垂直"（连交点和圆心，证这条半径垂直于直线）；点是否在圆上不确定，就"作垂直、证等于半径"（过圆心作直线的垂线段，证它等于半径）。别把两招用混，这是最常丢分的地方。另外切线长定理也常配套：从圆外一点引两条切线，两切线长相等，且圆心与该点的连线平分两切线夹角，遇到"两条切线"几乎必用。

🧩 典型例题3 道

例1

如图， $P A$ 切 $⊙ O$ 于点 $A$ ， $O P$ 与圆相交，连接 $O A$ ，若 $∠ P = 4 0^{\circ}$ ，求 $∠ A O P$ 的度数。

💭 解题思路

见切线先连半径， $O A ⊥ P A$ 得直角，再用三角形内角和求角。

✍️ 解答过程

① 因为 $P A$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A$ 为切点，所以 $O A ⊥ P A$ ，即 $∠ O A P = 9 0^{\circ}$ 。

② 在 $△ O A P$ 中， $∠ A O P = 18 0^{\circ} - ∠ O A P - ∠ P = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 5 0^{\circ}$ 。

💡

切线性质的核心就是“半径垂直切线”，先把这个直角标出来，问题就打开了。

例2

如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是圆上一点， $A D ⊥ C D$ 于点 $D$ ，且 $A C$ 平分 $∠ D A B$ 。求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线。

💭 解题思路

切点 $C$ 已在圆上，用“连半径、证垂直”，连 $O C$ 证 $O C ⊥ C D$ 。

✍️ 解答过程

① 连接 $O C$ 。因为 $O A = O C$ ，所以 $∠ O A C = ∠ O C A$ 。

② 因为 $A C$ 平分 $∠ D A B$ ，所以 $∠ D A C = ∠ O A C$ ，从而 $∠ D A C = ∠ O C A$ ，故 $O C ∥ A D$ 。

③ 因为 $A D ⊥ C D$ ，所以 $O C ⊥ C D$ 。又 $O C$ 为半径，所以 $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线。

💡

点已在圆上时，判定切线就连半径证垂直；本题的桥梁是等腰得等角、角平分线传角，最终推出平行。

例3

如图， $P A$ 、 $P B$ 分别切 $⊙ O$ 于点 $A$ 、 $B$ ， $∠ A P B = 6 0^{\circ}$ ， $⊙ O$ 的半径为 $3$ 。求切线长 $P A$ ，并求四边形 $P A O B$ 的面积。

💭 解题思路

切线长定理得 $P A = P B$ 、 $O P$ 平分 $∠ A P B$ ；再用切线性质的直角配三角函数计算。

✍️ 解答过程

① 连接 $O P$ 、 $O A$ 。由切线长定理 $P A = P B$ ，且 $O P$ 平分 $∠ A P B$ ，所以 $∠ O P A = 3 0^{\circ}$ 。

② 由切线性质 $O A ⊥ P A$ ，在 $Rt △ O P A$ 中， $tan ∠ O P A = \frac{O A}{P A}$ ，故 $P A = \frac{O A}{tan 3 0 ^{\circ}} = \frac{3}{\frac{3}{3}} = 33$ 。

③ 四边形 $P A O B$ 由两个全等直角三角形组成，面积 $= 2 \times \frac{1}{2} \cdot P A \cdot O A = 2 \times \frac{1}{2} \times 33 \times 3 = 93$ 。

💡

遇到“两条切线”优先用切线长定理， $P A = P B$ 与 $O P$ 平分夹角是突破口，再落到直角三角形算长度和面积。

🎬 讲解视频

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