相似三角形与锐角三角函数

重点难点考点初三

🧭 知识小背景

相似三角形对应角相等、对应边成比例，面积比等于相似比的平方；锐角三角函数 $sin$ 、 $cos$ 、 $tan$ 用于解直角三角形与测量。

图解：两个三角形形状相同、大小不同（相似）：对应角相等、对应边成比例，大三角形是小三角形按比例放大的结果。

📖 精讲

形状相同、大小可不同，对应角相等、对应边成比例。判定： $AA$ （最常用）、 $S A S$ 、 $S S S$ ；平行于一边的直线截另两边得相似（“A 字型”“X/8 字型”）。

相似比 = 对应边之比，周长比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方。

$sin A =$ 对边 ÷ 斜边， $cos A =$ 邻边 ÷ 斜边， $tan A =$ 对边 ÷ 邻边。必背 $3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}$ 的值。

🧩 典型例题3 道

例1

如图 $D E ∥ B C$ ， $A D = 2$ ， $D B = 3$ ， $D E = 4$ ，求 $B C$ 。

✍️ 解答过程

$D E ∥ B C \Rightarrow △ A D E \sim △ A B C$ ，相似比 $= \frac{A D}{A B} = \frac{2}{5}$ 。 $\frac{D E}{B C} = \frac{2}{5}$ ， $B C = 10$ 。

例2

两相似三角形周长比为 $2 : 3$ ，面积之差为 $25$ ，求较小三角形面积。

✍️ 解答过程

相似比 $2 : 3 \Rightarrow$ 面积比 $4 : 9$ 。设为 $4 k, 9 k$ ， $9 k - 4 k = 25$ ， $k = 5$ 。较小面积 $= 20$ 。

例3

$R t △ A B C$ 中 $∠ C = 9 0^{\circ}$ ， $∠ A = 3 0^{\circ}$ ， $B C = 5$ ，求 $A B, A C$ 。

✍️ 解答过程

$sin A = \frac{B C}{A B}$ ， $sin 3 0^{\circ} = \frac{5}{A B}$ ， $A B = 10$ ； $A C = A B^{2} - B C^{2} = 75 = 53$ 。

用影子测树高（同一时刻树高∶影长=人高∶人影）就是相似；测山坡角度用三角函数。

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