二次函数的综合与实际应用

🧭 知识小背景

把二次函数和几何、方程混在一起考，常见的是拱桥、抛物运动、利润最大化，关键是建好坐标系、列对函数式再求解。

📖 精讲

二次函数综合题看着吓人，其实套路很固定。第一步永远是"建模"：利润题抓住"利润=(售价-进价)×销量"，拱桥、抛物运动题先建坐标系，把顶点放在y轴上用顶点式最省事。第二步"列式"，把要求的量写成关于一个字母的二次函数，注意自变量取值范围（销量要为正、点要在图象上）。第三步"求最值"，开口向下取最大、向上取最小，用顶点公式 $x = - \frac{b}{2 a}$ 或配方成顶点式。碰上几何面积，记住"水平宽×铅垂高÷2"这个神器，能把斜三角形面积也变成二次函数。最后一定回头检验：答案落在取值范围内吗？单位写了吗？把这三步走顺，综合题就拆成了熟题。

🧩 典型例题3 道

例1

某商品进价为每件40元，当售价为每件x元时，每天可售出 $(140 - 2 x)$ 件。设每天销售利润为W元，求售价定为多少时每天利润最大，最大利润是多少？

💭 解题思路

利润=(售价-进价)×销量，列出W关于x的二次函数，用顶点公式求最大值。

✍️ 解答过程

① $W = (x - 40) (140 - 2 x) = - 2 x^{2} + 220 x - 5600$

② 顶点横坐标 $x = - \frac{220}{2 \times ( - 2 )} = 55$

③ 当 $x = 55$ 时， $W = (55 - 40) \times (140 - 2 \times 55) = 15 \times 30 = 450$ （元）

💡

二次项系数为负、开口向下，顶点处取最大值；须保证销量 $140 - 2 x > 0$ ，即 $x < 70$ 。

例2

一抛物线形拱桥，水面宽（跨度）为8米，拱顶到水面的高度为4米。以水面中点为原点、水面为x轴、竖直方向为y轴建立坐标系，求抛物线的解析式，并求距对称轴水平距离2米处拱桥的高度。

💭 解题思路

拱顶在y轴上即顶点为 $(0, 4)$ ，设顶点式 $y = a x^{2} + 4$ ，用拱与水面的交点求a。

✍️ 解答过程

① 设顶点式 $y = a x^{2} + 4$ ，水面交点为 $(4, 0)$ 与 $(- 4, 0)$

② 代入 $(4, 0)$ ： $0 = 16 a + 4$ ，解得 $a = - \frac{1}{4}$ ，故 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + 4$

③ 当 $x = 2$ 时， $y = - \frac{1}{4} \times 4 + 4 = 3$ （米）

💡

建系时让顶点落在y轴上，用顶点式最简便；"水平距离"对应自变量x的值。

例3

抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ ，与y轴交于点C。点P是抛物线上位于直线BC下方的一动点，求 $△ P B C$ 面积的最大值。

💭 解题思路

先用A、B定解析式并求C；设P坐标，用"水平宽×铅垂高÷2"把面积化为二次函数求最值。

✍️ 解答过程

① 将 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ 代入得 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ，令 $x = 0$ 得 $C (0, - 3)$

② 直线BC解析式为 $y = x - 3$ ；设 $P (t, t^{2} - 2 t - 3)$ （ $0 < t < 3$ ），过P作x轴垂线交BC于 $Q (t, t - 3)$

③ 铅垂高 $P Q = (t - 3) - (t^{2} - 2 t - 3) = - t^{2} + 3 t$ ， $S_{△ P B C} = \frac{1}{2} \times 3 \times (- t^{2} + 3 t) = - \frac{3}{2} (t - \frac{3}{2})^{2} + \frac{27}{8}$

④ 当 $t = \frac{3}{2}$ 时， $S$ 取最大值 $\frac{27}{8}$

💡

用"水平宽（ $x_{B} - x_{C}$ ）×铅垂高÷2"求斜三角形面积，可把面积转化为顶点式的二次函数。

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