分式的运算与化简求值

约分:化简 $\frac{a^2-4}{a^2-4a+4}$。

思路:分子分母都能因式分解,分解后约去公因式即可。

解:

① 分子 $a^2-4=(a+2)(a-2)$

② 分母 $a^2-4a+4=(a-2{)}^2$

③ 原式$=\frac{(a+2)(a-2)}{(a-2{)}^2}=\frac{a+2}{a-2}$

点拨:约分前必须先分解因式,不能把分子分母里相加减的项直接"划掉"。

异分母加减:计算 $\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}$。

思路:先把 $x^2-4$ 分解找最简公分母,再通分相减。

解:

① $x^2-4=(x+2)(x-2)$,最简公分母为 $(x+2)(x-2)$

② 通分:原式$=\frac{x+2}{(x+2)(x-2)}-\frac{4}{(x+2)(x-2)}$

③ $=\frac{x+2-4}{(x+2)(x-2)}=\frac{x-2}{(x+2)(x-2)}=\frac{1}{x+2}$

点拨:分子相减时 $x+2-4$ 要整体算,别只减一个数漏掉符号。

先化简,再求值:$(1-\frac{1}{x+1})÷\frac{x}{x^2-1}$,其中 $x=3$。

思路:括号内先通分成一个分式,再把除法变乘法、倒过来约分,最后代值。

解:

① $1-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=\frac{x}{x+1}$

② $÷\frac{x}{x^2-1}=\frac{x}{x+1}\cdot \frac{(x+1)(x-1)}{x}=x-1$

③ 当 $x=3$ 时,原式$=3-1=2$

点拨:化简到最简再代入;取值要保证各分母不为零,即 $x\ne 0$ 且 $x\ne \pm 1$。