点、直线与圆的位置关系

🧭 知识小背景

靠比较距离和半径来判断：点在圆内外还是圆上、直线和圆是相离相切还是相交，把"位置"这件事变成算距离比大小。

📖 精讲

判断位置关系，核心就一句话：把"圆心到目标的距离 $d$ "和"半径 $r$ "摆在一起比大小。点与圆—— $d < r$ 点在圆内， $d = r$ 在圆上， $d > r$ 在圆外；直线与圆同理—— $d < r$ 相交（两个交点）、 $d = r$ 相切（一个公共点）、 $d > r$ 相离（没有交点）。难点从来不在"比大小"，而在"算 $d$ "。点到圆心的距离，直接两点间距离或勾股定理搞定；圆心到直线的距离要找那条垂线段，初中最顺手的是面积法： $d = \frac{两直角边乘积}{斜边}$ 。做题先盯住半径，再把 $d$ 算准，最后一比就出结论。两个易错点：相切只有一个公共点，别跟相交混；遇到带参数的讨论，相交、相切、相离三种都要写全，边界 $d = r$ 单独算清楚。

🧩 典型例题3 道

例1

已知⊙O的半径 $r = 5$ ，点 A、B、C 到圆心 O 的距离分别为 $O A = 3$ 、 $O B = 5$ 、 $O C = 7$ ，判断这三个点与⊙O的位置关系。

💭 解题思路

点与圆看"距离比半径"， $d < r$ 在圆内， $d = r$ 在圆上， $d > r$ 在圆外。

✍️ 解答过程

① $O A = 3 < 5 = r$ ，所以点 A 在⊙O内；

② $O B = 5 = r$ ，所以点 B 在⊙O上；

③ $O C = 7 > 5 = r$ ，所以点 C 在⊙O外。

💡

先记牢半径，再逐个比大小，别把"在圆上"漏写成"在圆内"。

例2

在 Rt△ABC 中， $∠ C = 9 0^{\circ}$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ 。以点 C 为圆心、 $r$ 为半径作⊙C，分别讨论当 $r = 2$ 、 $r = \frac{12}{5}$ 、 $r = 3$ 时，斜边 AB 与⊙C 的位置关系。

💭 解题思路

直线与圆看圆心到直线的距离 $d$ 和 $r$ 比大小，先求 C 到 AB 的距离。

✍️ 解答过程

① 由勾股定理 $A B = 3^{2} + 4^{2} = 5$ ；

② 用面积法求 C 到 AB 的距离 $d = \frac{A C \cdot B C}{A B} = \frac{3 \times 4}{5} = \frac{12}{5}$ ；

③ $r = 2 < \frac{12}{5} = d$ ，相离； $r = \frac{12}{5} = d$ ，相切； $r = 3 > \frac{12}{5} = d$ ，相交。

💡

$d$ 是圆心到直线的垂线段长，直角三角形里用面积法 $d = \frac{A C \cdot B C}{A B}$ 最快。

例3

在平面直角坐标系中，⊙O 以原点为圆心、半径为 $2$ 。直线 $l : y = x + b$ ，问 $b$ 取何值时，直线 $l$ 与⊙O 相切？相交？相离？

💭 解题思路

先求原点 O 到直线 $l$ 的距离 $d$ ，再与 $r = 2$ 比较。

✍️ 解答过程

① 直线 $y = x + b$ 交 x 轴于 $A (- b, 0)$ 、交 y 轴于 $B (0, b)$ ，则 $O A = O B = ∣ b ∣$ ，斜边 $A B = 2 ∣ b ∣$ ；

② 用面积法得 $d = \frac{O A \cdot O B}{A B} = \frac{∣ b ∣ ^{2}}{2 ∣ b ∣} = \frac{2}{2} ∣ b ∣$ ；

③ 相切： $\frac{2}{2} ∣ b ∣ = 2 \Rightarrow ∣ b ∣ = 22$ ，即 $b = \pm 22$ ；相交： $\frac{2}{2} ∣ b ∣ < 2 \Rightarrow - 22 < b < 22$ ；相离： $b < - 22$ 或 $b > 22$ 。

💡

初中求圆心到直线的距离常用"面积法"，把直线与坐标轴围成的三角形拎出来， $d = \frac{两直角边乘积}{斜边}$ 。

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