圆周角定理及其应用

如图，$A$、$B$、$C$是$\odot O$上的三点，圆心角$\angle AOB=100°$，求圆周角$\angle ACB$的度数。

思路：$\angle AOB$与$\angle ACB$对着同一段弧$AB$，用"圆周角是圆心角的一半"直接算。

解：

① $\angle AOB$与$\angle ACB$都对着弧$AB$，其中$\angle AOB$是圆心角，$\angle ACB$是圆周角；

② 由圆周角定理，$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB$；

③ $\angle ACB=\frac{1}{2}\times 100°=50°$。

点拨：圆心角与圆周角必须对着同一段弧，才有二倍（一半）关系。

如图，$AB$是$\odot O$的直径，$C$、$D$是$\odot O$上的点，$\angle BAC=30°$，求$\angle ABC$和$\angle ADC$的度数。

思路：直径所对圆周角是直角，先在$Rt△ABC$里求$\angle ABC$；$\angle ADC$与$\angle ABC$对同弧$AC$。

解：

① $AB$是直径，所以$\angle ACB=90°$；

② 在$△ABC$中，$\angle ABC=90°-\angle BAC=90°-30°=60°$；

③ $\angle ADC$与$\angle ABC$都对着弧$AC$，所以$\angle ADC=\angle ABC=60°$。

点拨：看到直径先标直角；同弧所对的圆周角相等，可把角"搬"到方便的位置。

如图，$A$、$B$、$C$在$\odot O$上，圆周角$\angle BAC=40°$，连接$OB$、$OC$，求$\angle OBC$的度数。

思路：先用圆周角定理由$\angle BAC$求出圆心角$\angle BOC$，再用$OB=OC$的等腰三角形求底角。

解：

① $\angle BAC$与$\angle BOC$都对着弧$BC$，$\angle BOC=2\angle BAC=2\times 40°=80°$；

② $OB=OC$（半径），所以$△OBC$是等腰三角形，$\angle OBC=\angle OCB$；

③ $\angle OBC=\frac{180°-\angle BOC}{2}=\frac{180°-80°}{2}=50°$。

点拨：半径相等常构成等腰三角形，把圆周角、圆心角与等腰底角联动起来求解。