三角形的内切圆与外接圆

🧭 知识小背景

外接圆过三个顶点、圆心是三边垂直平分线交点；内切圆和三边都相切、圆心是三条角平分线交点，两个圆心别记混。

📖 精讲

这块最容易记混的就是两个"心"。外接圆过三角形三个顶点，圆心叫外心，是三条边的垂直平分线交点，到三个顶点距离都等于半径 $R$ ；内切圆和三条边都相切，圆心叫内心，是三条角平分线交点，到三条边距离都等于半径 $r$ 。做题记住两个高频结论：一是直角三角形斜边就是外接圆直径，所以 $R$ 等于斜边的一半；二是直角三角形内切圆半径 $r = \frac{a + b - c}{2}$ （ $c$ 是斜边），这条用面积法 $S = \frac{1}{2} (a + b + c) r$ 也能推。等边三角形外心内心重合，且 $R = 2 r$ 。审题时先看是"过顶点"还是"切边"，选对圆心，再套公式，别把 $R$ 和 $r$ 张冠李戴。

🧩 典型例题3 道

例1

已知直角三角形的两条直角边分别为 $3$ 和 $5$ ，求它外接圆的半径 $R$ 。

💭 解题思路

直角三角形的斜边就是外接圆的直径，先求斜边，再取一半。

✍️ 解答过程

① 由勾股定理，斜边 $c = 3^{2} + 5^{2} = 34$ 。

② 直角三角形斜边是外接圆直径，即 $2 R = 34$ 。

③ 所以 $R = \frac{34}{2}$ 。

💡

只有直角三角形才有"斜边即直径"，别把直角边当直径。

例2

已知直角三角形的三边分别为 $6$ 、 $8$ 、 $10$ ，求它内切圆的半径 $r$ 。

💭 解题思路

直角三角形内切圆半径有公式 $r = \frac{a + b - c}{2}$ （ $c$ 为斜边），代入即可，也可用面积法验证。

✍️ 解答过程

① 判断 $10$ 是斜边（最长边），两直角边为 $6$ 、 $8$ 。

② 代入公式 $r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ 。

③ 验证： $S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ ，周长 $6 + 8 + 10 = 24$ ，由 $S = \frac{1}{2} (a + b + c) r$ 得 $r = \frac{2 \times 24}{24} = 2$ ，一致。

💡

公式里的 $c$ 一定是斜边，先认准最长边再代。

例3

已知等边三角形的边长为 $6$ ，求它外接圆半径 $R$ 与内切圆半径 $r$ 。

💭 解题思路

等边三角形外心、内心重合于中心，先求高，再用中心把高按 $2 : 1$ 分成 $R$ 与 $r$ 。

✍️ 解答过程

① 高 $h = \frac{3}{2} \times 6 = 33$ 。

② 中心到顶点为外接圆半径， $R = \frac{2}{3} h = \frac{2}{3} \times 33 = 23$ 。

③ 中心到边为内切圆半径， $r = \frac{1}{3} h = \frac{1}{3} \times 33 = 3$ ，可见 $R = 2 r$ 。

💡

等边三角形中心把每条高分成 $2 : 1$ ，靠顶点的一段是 $R$ ，靠边的一段是 $r$ 。

🎬 讲解视频

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