平面直角坐标系与函数概念

🧭 知识小背景

用横纵两条数轴给平面上每个点一个坐标；函数就是x一变y跟着唯一确定地变，是后面研究各种图象的地基。

📖 精讲

这节是后面所有函数图象的地基，先弄清两件事。一是坐标系：横轴 $x$ 、纵轴 $y$ 一交叉，平面上每个点都能用一对数 $(x, y)$ 精确定位，横坐标在前、纵坐标在后，顺序千万不能反。判象限就看符号，逆时针数： $(+, +)$ 第一象限、 $(-, +)$ 第二象限、 $(-, -)$ 第三象限、 $(+, -)$ 第四象限。二是函数： $x$ 每取一个值， $y$ 都唯一确定地跟着算出来，这时才叫 $y$ 是 $x$ 的函数，关键就一个词——“唯一”，一个 $x$ 绝不能对应两个 $y$ 。最常考三类题：定象限、代入求函数值、求自变量取值范围。最后一类记住两条红线：根号下不能为负、分母不能为零，两个都占就取公共部分。把“定位”和“唯一确定”这两个词吃透，这节就通了。

🧩 典型例题3 道

例1

在平面直角坐标系中，点 $A (- 3, 2)$ 在第几象限？它到 $x$ 轴、 $y$ 轴的距离各是多少？

💭 解题思路

先看横、纵坐标的符号定象限；到某条坐标轴的距离，看另一个坐标的绝对值。

✍️ 解答过程

① 横坐标 $- 3 < 0$ ，纵坐标 $2 > 0$ ，符号为 $(-, +)$ ，所以点 $A$ 在第二象限；

② 到 $x$ 轴的距离 = 纵坐标的绝对值 = $∣2∣ = 2$ ；

③ 到 $y$ 轴的距离 = 横坐标的绝对值 = $∣ - 3∣ = 3$ 。

💡

到 $x$ 轴距离看 $y$ 、到 $y$ 轴距离看 $x$ ，两者别弄反。

例2

已知 $y = 2 x + 1$ ，求当 $x = 3$ 时 $y$ 的值，并说明为什么 $y$ 是 $x$ 的函数。

💭 解题思路

代入求值；再用“一个 $x$ 唯一确定一个 $y$ ”来判断是不是函数。

✍️ 解答过程

① 把 $x = 3$ 代入 $y = 2 x + 1$ ，得 $y = 2 \times 3 + 1$ ；

② 计算得 $y = 6 + 1 = 7$ ；

③ 对每个取定的 $x$ ， $2 x + 1$ 只算出一个 $y$ ，符合“唯一确定”，所以 $y$ 是 $x$ 的函数。

💡

函数的核心是“唯一”，一个 $x$ 不能对应两个 $y$ 。

例3

求函数 $y = \frac{x - 1}{x - 3}$ 中自变量 $x$ 的取值范围。

💭 解题思路

根号下的数必须非负，分母又不能为零，两个条件要同时满足。

✍️ 解答过程

① 被开方数非负： $x - 1 \geq 0$ ，即 $x \geq 1$ ；

② 分母不为零： $x - 3 \neq = 0$ ，即 $x \neq = 3$ ；

③ 两个条件取公共部分： $x \geq 1$ 且 $x \neq = 3$ 。

💡

既含根号又含分母时，两条限制缺一不可，别只顾一个。

🎬 讲解视频

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