一次函数的实际应用

🧭 知识小背景

话费、行程、收费这些均匀变化的问题都能用y=kx+b来描述，k是变化快慢、b是起点，据此做预测和比较划不划算。

📖 精讲

一次函数 $y = k x + b$ 是描述"匀速变化"的万能模型： $k$ 是变化的快慢（每单位 $x$ 增加多少），叫斜率； $b$ 是起点，也就是 $x = 0$ 时的初始值。做实际应用题分三步：一是"设函数"，把话费、水量、路程等设成 $y$ ，把时间或数量设成 $x$ ，写出 $y = k x + b$ ；二是"求 $k$ 、 $b$ "，题目直接给就直接代，给两组数据就用待定系数法列方程组；三是"用函数"，代入求值做预测，或令两个函数相等求分界点来比较划不划算。易错点： $k$ 的正负决定增减，别把单位算错；比较方案时要看清是"大于分界点"还是"小于分界点"更省钱，最好画个草图辅助判断。抓住 $k$ 管快慢、 $b$ 管起点，几乎所有一次函数应用题都能拿下。

🧩 典型例题3 道

例1

某手机套餐每月固定月租 $20$ 元，另按通话时间每分钟收 $0.1$ 元。设某月通话 $x$ 分钟，话费为 $y$ 元。

💭 解题思路

话费=月租+通话费，是匀速增长，直接写成 $y = k x + b$ ，再代入求值。

✍️ 解答过程

① 每分钟 $0.1$ 元是变化快慢，故 $k = 0.1$ ；月租 $20$ 元是起点，故 $b = 20$ ，得 $y = 0.1 x + 20$ 。

② 当通话 $100$ 分钟时，把 $x = 100$ 代入： $y = 0.1 \times 100 + 20$ 。

③ $y = 10 + 20 = 30$ （元）。

💡

月租是固定的起点 $b$ ，与通话时长无关，别漏加。

例2

打印店有两种收费方案：甲方案每张 $0.2$ 元；乙方案先交 $20$ 元制版费，再每张 $0.1$ 元。设打印 $x$ 张，问打印多少张时两种方案花费相同？超过时选哪种更省？

💭 解题思路

分别写出两个一次函数，令它们相等求分界点，再比较两侧大小。

✍️ 解答过程

① 甲： $y_{1} = 0.2 x$ ；乙： $y_{2} = 0.1 x + 20$ 。

② 令 $y_{1} = y_{2}$ ，即 $0.2 x = 0.1 x + 20$ ，移项得 $0.1 x = 20$ ，解得 $x = 200$ （张）。

③ 当 $x > 200$ 时，乙每张只 $0.1$ 元、增长更慢，故乙更省；当 $x < 200$ 时甲更省。

💡

分界点两侧要比 $k$ 的大小， $k$ 小的增长慢、量大时更划算。

例3

一个蓄满水的水池匀速排水，排水时池中水量 $y$ （升）是时间 $t$ （分钟）的一次函数。已知第 $2$ 分钟时剩水 $30$ 升，第 $5$ 分钟时剩水 $15$ 升。求 $y$ 关于 $t$ 的函数，并求几分钟后水池排空。

💭 解题思路

给了两组数据，用待定系数法设 $y = k t + b$ 列方程组求 $k$ 、 $b$ ；排空即 $y = 0$ 。

✍️ 解答过程

① 设 $y = k t + b$ ，代入两点得 ${2 k + b = 30 5 k + b = 15$ 。

② 两式相减： $3 k = - 15$ ，解得 $k = - 5$ ；代回 $2 \times (- 5) + b = 30$ ，得 $b = 40$ ，故 $y = - 5 t + 40$ 。

③ 令 $y = 0$ ： $- 5 t + 40 = 0$ ，解得 $t = 8$ （分钟）。

💡

排水使水量减少， $k$ 必为负；求排空就是令 $y = 0$ 解方程。

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