锐角三角函数的定义与特殊角

🧭 知识小背景

在直角三角形里，正弦余弦正切就是边与边的比值，把角和边联系起来；30、45、60度这几个特殊角的值要背熟随时用。

📖 精讲

锐角三角函数只在直角三角形里定义。先认准直角所对的那条斜边，再站到你要研究的锐角A上，分清「对边」和「邻边」。三个比值：正弦 $sin A = \frac{对边}{斜边}$ 、余弦 $cos A = \frac{邻边}{斜边}$ 、正切 $tan A = \frac{对边}{邻边}$ ，记口诀「正弦对斜、余弦邻斜、正切对邻」。30°、45°、60°三个特殊角的值必须背到脱口而出： $sin 30° = \frac{1}{2}$ 、 $sin 45° = \frac{2}{2}$ 、 $sin 60° = \frac{3}{2}$ ，余弦倒着记，正切依次是 $\frac{3}{3}$ 、 $1$ 、 $3$ 。做题两大方向：给边求比值，直接套定义，缺边先用勾股定理补全；给特殊值就反求角或求边。最易错的是把对边、邻边看反，动笔前一定盯准「是哪个角、对着哪条边」。

🧩 典型例题3 道

例1

在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求 $sin A$ 、 $cos A$ 、 $tan A$ 。

💭 解题思路

先按勾股定理补全斜边 AB，再站在∠A 上分清对边、邻边，套定义写比值。

✍️ 解答过程

① 由勾股定理 $A B = B C^{2} + A C^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 5$

② ∠A 的对边是 BC=3，邻边是 AC=4，斜边是 AB=5

③ $sin A = \frac{B C}{A B} = \frac{3}{5}$ ， $cos A = \frac{A C}{A B} = \frac{4}{5}$ ， $tan A = \frac{B C}{A C} = \frac{3}{4}$

💡

对边、邻边都是相对∠A 而言的，别把 AC、BC 记反。

例2

计算： $3 tan 30° + cos^{2} 45° + sin 30°$ 。

💭 解题思路

把三个特殊角的函数值逐一代入，先算乘方和乘法，再相加。

✍️ 解答过程

① 代入特殊值： $tan 30° = \frac{3}{3}$ ， $cos 45° = \frac{2}{2}$ ， $sin 30° = \frac{1}{2}$

② $3 \times \frac{3}{3} = \frac{3}{3} = 1$ ； $cos^{2} 45° = (\frac{2}{2})^{2} = \frac{1}{2}$

③ 原式 $= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2$

💡

$cos^{2} 45°$ 是 $(cos 45°)^{2}$ ，要先取值再平方，别漏写括号。

例3

在 Rt△ABC 中，∠C=90°， $sin A = \frac{1}{2}$ ，斜边 AB=6，求∠A 的度数及 BC、AC 的长。

💭 解题思路

由特殊值反查角度，再用正弦、余弦定义分别求对边与邻边。

✍️ 解答过程

① 因 $sin A = \frac{1}{2}$ ，且∠A 为锐角，故 $∠ A = 30°$

② 由 $sin A = \frac{B C}{A B}$ ，得 $B C = A B \cdot sin A = 6 \times \frac{1}{2} = 3$

③ 由 $cos A = \frac{A C}{A B}$ ，得 $A C = A B \cdot cos 30° = 6 \times \frac{3}{2} = 33$

💡

反求角要限定「锐角」；求边时认准对边配正弦、邻边配余弦。

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