二次函数的最值问题

🧭 知识小背景

抛物线开口向上顶点处最低、向下最高，所以最大或最小值就在顶点；有取值范围时还要看端点，别只盯顶点。

📖 精讲

二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 求最值，核心就一句话：先定顶点，再看范围。第一步永远是配方或用公式 $x = - \frac{b}{2 a}$ 求出对称轴（顶点横坐标），代回算出顶点纵坐标 $y = \frac{4 a c - b ^{2}}{4 a}$ 。若 $a > 0$ 开口向上，顶点是最低点，有最小值无最大值； $a < 0$ 开口向下，顶点是最高点。关键易错在"带范围"：题目给了 $m \leq x \leq n$ 时不能只盯顶点。分两种情况——顶点横坐标落在范围内，就取顶点值；落在范围外，函数在这段上单调，最值只能在两个端点取，把端点代进去比大小即可。遇到面积、利润类应用题，先设未知数列出二次函数再套上面步骤。记住口诀：定轴、判开口、看范围、比端点。

🧩 典型例题3 道

例1

求二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 的最小值。

💭 解题思路

开口向上（ $a = 1 > 0$ ）有最小值，最小值在顶点处，用公式或配方求顶点纵坐标。

✍️ 解答过程

① 对称轴 $x = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 4}{2 \times 1} = 2$ ；

② 把 $x = 2$ 代入： $y = 2^{2} - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1$ ；

③ 因为 $a = 1 > 0$ ，抛物线开口向上，顶点最低，故最小值为 $- 1$ （无最大值）。

💡

$a > 0$ 只有最小值，别误答成最大值。

例2

求 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 在 $0 \leq x \leq 3$ 上的最大值和最小值。

💭 解题思路

先求顶点，判断对称轴是否落在范围内；再把两端点代入，比较大小定最值。

✍️ 解答过程

① 对称轴 $x = - \frac{- 2}{2 \times 1} = 1$ ，落在 $0 \leq x \leq 3$ 内，顶点值 $y = 1^{2} - 2 \times 1 - 3 = - 4$ ；

② 因 $a = 1 > 0$ 开口向上，顶点为最低点，最小值 $= - 4$ （在 $x = 1$ 处）；

③ 算端点： $x = 0$ 时 $y = - 3$ ， $x = 3$ 时 $y = 9 - 6 - 3 = 0$ ，较大者为 $0$ ，故最大值 $= 0$ （在 $x = 3$ 处）。

💡

带范围时最大值往往在离对称轴更远的端点取。

例3

用长 $24$ 米的篱笆靠一面墙围一个矩形菜园（墙的一边不用篱笆），求菜园的最大面积。

💭 解题思路

设垂直于墙的边为 $x$ ，用面积列出二次函数，再求顶点得最大值。

✍️ 解答过程

① 设垂直墙的边长为 $x$ 米，则平行墙的一边为 $(24 - 2 x)$ 米，面积 $S = x (24 - 2 x) = - 2 x^{2} + 24 x$ （ $0 < x < 12$ ）；

② 对称轴 $x = - \frac{24}{2 \times ( - 2 )} = 6$ ，在取值范围内，且 $a = - 2 < 0$ 开口向下，顶点为最高点；

③ 代入 $x = 6$ ： $S = - 2 \times 6^{2} + 24 \times 6 = - 72 + 144 = 72$ ，故最大面积为 $72$ 平方米。

💡

应用题先设元列函数，注意 $x$ 的实际取值范围要合理。

🎬 讲解视频

🎬讲解视频位（可填 B 站 BV 号或视频地址）

发现讲解有误或想补充案例？点这里补充

← 返回初中·数学