平方根、立方根与实数运算

🧭 知识小背景

开方是平方、立方的逆运算，正数有两个平方根、立方根只有一个；再把有理数和无理数合起来叫实数，一起按规则做混合运算。

📖 精讲

开方是乘方的逆运算，抓住三句话就不乱：正数的平方根有两个，互为相反数，记作 $\pm a$ ；其中正的那个叫算术平方根 $a$ ；立方根不管正数、负数还是零，都只有一个，正数立方根为正，负数立方根为负。做实数混合运算时，先把每个根号、绝对值单独算成具体的数，再按"先乘方开方、再乘除、后加减"的顺序算，负号和 $\pm$ 千万别丢。遇到反过来给 $a = 3$ 求 $a$ ，就两边平方得 $a = 9$ ，此时只取一个正值；比较两个正数大小时，可把它们平方后再比。把"平方根带 $\pm$ 、算术平方根取正、立方根唯一"这三句记牢，这类题就能稳稳拿分。

🧩 典型例题3 道

例1

求 $64$ 的平方根和立方根，并求 $81$ 的值。

💭 解题思路

平方根有正、负两个，算术平方根只取正的；立方根只有一个。

✍️ 解答过程

① $64$ 的平方根是 $\pm 8$ （因为 $(\pm 8)^{2} = 64$ ）

② $64$ 的立方根是 $4$ （因为 $4^{3} = 64$ ）

③ $81 = 9$

💡

平方根的 $\pm$ 不能丢，而 $81$ 是算术平方根只取正值。

例2

计算 $16 + 3 - 27 - ∣ - 2∣$ 。

💭 解题思路

先分别求出算术平方根、立方根和绝对值，再按加减顺序计算。

✍️ 解答过程

① $16 = 4$

② $3 - 27 = - 3$ （因为 $(- 3)^{3} = - 27$ ）

③ 原式 $= 4 + (- 3) - 2 = - 1$

💡

立方根可以是负数，绝对值 $∣ - 2∣ = 2$ 要先化简再运算。

例3

已知 $a = 3$ ， $3 b = - 2$ ，求 $2 a + b$ 的值，并比较 $10$ 与 $3$ 的大小。

💭 解题思路

由算术平方根、立方根反推出 $a$ 、 $b$ 再代入；比较大小可先平方。

✍️ 解答过程

① 由 $a = 3$ ，两边平方得 $a = 9$

② 由 $3 b = - 2$ ，得 $b = (- 2)^{3} = - 8$

③ $2 a + b = 2 \times 9 + (- 8) = 18 - 8 = 10$

④ 因为 $(10)^{2} = 10 > 9 = 3^{2}$ ，且都是正数，所以 $10 > 3$

💡

$a = 3$ 反推时 $a = 9$ 只取一个正值，不要写成 $\pm 9$ 。

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