因式分解(提公因式、公式法、十字相乘)

🧭 知识小背景

和乘法反着来，把一个多项式拆成几个式子相乘；先看有没有公因式，再想能不能套公式，二次三项就试十字相乘。

📖 精讲

因式分解就是把一个多项式写成“几个式子相乘”，它和乘法互为逆过程，做完把因式乘回去就能检验对错。记住三步顺口溜：一提、二套、三十字。第一步永远先看有没有公因式，系数取最大公约数、字母取次数最低的，一起提到括号外；千万别漏提，提完还要检查括号里能不能继续分。第二步看能否套公式，最常用平方差 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 和完全平方 $a^{2} \pm 2 ab + b^{2} = (a \pm b)^{2}$ 。第三步遇到二次三项式 $x^{2} + p x + q$ 就试十字相乘，把常数项拆成两个数，使它们的积等于常数项、和等于一次项系数。关键提醒：一定要“分到不能再分”，若结果里还能提公因式或再套公式，说明没做完。

🧩 典型例题3 道

例1

把 $6 a^{2} b - 9 a b^{2}$ 分解因式。

💭 解题思路

先找公因式，系数最大公约数是 $3$ ，字母取最低次 $ab$ ，提出来即可。

✍️ 解答过程

① 定公因式：系数 $6$ 、 $9$ 的最大公约数为 $3$ ，字母部分公共取 $ab$ ，故公因式为 $3 ab$ 。

② 提公因式： $6 a^{2} b - 9 a b^{2} = 3 ab \cdot 2 a - 3 ab \cdot 3 b = 3 ab (2 a - 3 b)$ 。

③ 检验： $3 ab (2 a - 3 b) = 6 a^{2} b - 9 a b^{2}$ ，与原式一致。

💡

提完后括号内 $2 a - 3 b$ 已无公因式，分解到位；易错点是漏提字母或只提系数。

例2

把 $2 x^{3} - 8 x$ 分解因式。

💭 解题思路

先提公因式 $2 x$ ，再看括号里能否套平方差公式。

✍️ 解答过程

① 提公因式： $2 x^{3} - 8 x = 2 x (x^{2} - 4)$ 。

② 套平方差： $x^{2} - 4 = x^{2} - 2^{2} = (x + 2) (x - 2)$ 。

③ 合并写出： $2 x^{3} - 8 x = 2 x (x + 2) (x - 2)$ 。

💡

必须先提公因式再套公式；分解后每个因式都不能再分，才算完成。

例3

把 $2 x^{2} + 5 x - 3$ 分解因式。

💭 解题思路

无公因式，是二次三项式且首项系数不为 $1$ ，用十字相乘。

✍️ 解答过程

① 拆首项系数 $2 = 2 \times 1$ ，拆常数项 $- 3 = (- 1) \times 3$ 。

② 列十字相乘： $2$ 与 $- 1$ 、 $1$ 与 $3$ ，交叉相乘之和 $2 \times 3 + 1 \times (- 1) = 6 - 1 = 5$ ，正好等于一次项系数。

③ 写出结果： $2 x^{2} + 5 x - 3 = (2 x - 1) (x + 3)$ ；展开验证 $2 x^{2} + 6 x - x - 3 = 2 x^{2} + 5 x - 3$ ，正确。

💡

十字相乘要保证“交叉乘积之和”等于中间项，符号别摆错。

🎬 讲解视频

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