圆的性质

难点考点初三

🧭 知识小背景

垂径定理（垂直于弦的直径平分弦）与圆周角定理（同弧圆周角是圆心角的一半、直径所对圆周角 $9 0^{\circ}$ ）是圆的两大核心。

图解：从圆心 O 向弦 AB 作垂线（弦心距 d）会平分这条弦；半径 r、半弦、弦心距 d 恰好组成直角三角形，满足 r²=d²+半弦²。

📖 精讲

垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧。设半径 $r$ 、弦心距 $d$ 、弦长一半为 $h$ ，则构成直角三角形 $r^{2} = d^{2} + h^{2}$ ——这是弦长计算的钥匙。

圆周角定理

同弧（等弧）所对圆周角相等，且等于所对圆心角的一半；直径所对圆周角为 $9 0^{\circ}$ 。

切线与解题

切线垂直于过切点的半径。解题常“连半径、作弦心距”构造直角三角形，配合勾股与相似。

🧩 典型例题3 道

例1

$⊙ O$ 半径 $5$ ，弦 $A B = 8$ ，求 $O$ 到 $A B$ 的距离。

✍️ 解答过程

作 $O M ⊥ A B$ 于 $M$ ， $A M = \frac{1}{2} A B = 4$ 。 $O M = O A^{2} - A M^{2} = 25 - 16 = 3$ 。

例2

$⊙ O$ 中弦 $A B$ 所对圆心角 $∠ A O B = 10 0^{\circ}$ ， $C$ 在优弧上，求 $∠ A C B$ 。

✍️ 解答过程

同弧圆周角等于圆心角一半， $∠ A C B = \frac{1}{2} \times 10 0^{\circ} = 5 0^{\circ}$ 。

例3

$A B$ 是 $⊙ O$ 直径， $C$ 在圆上， $∠ A B C = 3 0^{\circ}$ ， $A B = 8$ ，求 $A C, B C$ 。

✍️ 解答过程

$A B$ 是直径 $\Rightarrow ∠ A C B = 9 0^{\circ}$ 。 $A C = A B sin ∠ A B C = 8 \times \frac{1}{2} = 4$ ， $B C = A B cos 3 0^{\circ} = 8 \times \frac{3}{2} = 43$ 。

🌟 学以致用 · 解决生活中的问题

车轮、齿轮、钟表指针扫过的角度都是圆的知识。

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