相似三角形的应用与位似

🧭 知识小背景

形状相同大小可不同就是相似，对应角相等、对应边成比例；用它能测楼高河宽，位似则是从一个中心把图形整体放大缩小。

📖 精讲

相似三角形的应用，核心是"找相似、列比例"两步走。测楼高、河宽、树高这类题，都是把实际问题转化成两个相似三角形，用"对应边成比例"求未知量。判断相似常用平行（平行截出的同位角、内错角相等）或有公共角、直角。列比例时一定要让对应边"上对上、下对下"别错位，写成 $\frac{a}{a ^{'}} = \frac{b}{b ^{'}}$ 再交叉相乘。位似是特殊的相似：对应点连线都过同一个位似中心，位似比就是相似比，坐标里若中心在原点，各点坐标乘以 $k$ （或 $- k$ ）就得到位似图形。做题先画图标字母，看清谁对应谁，答案记得带单位，这样又快又不丢分。

🧩 典型例题3 道

例1

在同一时刻，一根长 $1.5$ 米的竹竿直立在地面，影长为 $2$ 米；同一时刻旁边一棵树的影长为 $12$ 米。求这棵树的高度。

💭 解题思路

同一时刻太阳光平行，竹竿与影、树与影组成两个相似三角形，用对应边成比例求树高。

✍️ 解答过程

① 设树高为 $x$ 米，竹竿高与影长之比等于树高与影长之比。

② 列比例： $\frac{1.5}{2} = \frac{x}{12}$ 。

③ 交叉相乘： $2 x = 1.5 \times 12 = 18$ ，解得 $x = 9$ 。

💡

必须"同一时刻"两三角形才相似，物高对物高、影长对影长，别把对应边写反。

例2

要测量河宽 $A B$ ，在河这岸取点，测得如图对应线段： $A B$ 与 $D E$ 平行，且 $△ A B C$ 与 $△ D E C$ 相似。已知 $D E = 6$ 米， $C D = 4$ 米， $C A = 10$ 米，求河宽 $A B$ 。

💭 解题思路

由 $A B ∥ D E$ 得两三角形相似，河宽 $A B$ 与 $D E$ 是对应边，用比例求解。

✍️ 解答过程

① 因为 $A B ∥ D E$ ，所以 $△ C D E \sim △ C A B$ 。

② 对应边成比例： $\frac{D E}{A B} = \frac{C D}{C A}$ ，即 $\frac{6}{A B} = \frac{4}{10}$ 。

③ 交叉相乘： $4 \cdot A B = 6 \times 10 = 60$ ，解得 $A B = 15$ 。

💡

找准对应边，小三角形的 $C D$ 对大三角形的 $C A$ ， $D E$ 对 $A B$ ，比值方向要一致。

例3

在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标为 $A (1, 2)$ 、 $B (3, 1)$ 、 $C (2, 4)$ 。以原点 $O$ 为位似中心，将 $△ A B C$ 放大为原来的 $2$ 倍，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ （与原图在原点同侧）。求 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ 、 $C^{'}$ 的坐标。

💭 解题思路

位似中心在原点、位似比为 $2$ 、同侧时，各顶点坐标都乘以 $2$ 。

✍️ 解答过程

① 位似中心为原点、同侧，位似比 $k = 2$ ，对应点坐标为原坐标乘 $2$ 。

② $A^{'} (1 \times 2, 2 \times 2) = A^{'} (2, 4)$ ； $B^{'} (3 \times 2, 1 \times 2) = B^{'} (6, 2)$ 。

③ $C^{'} (2 \times 2, 4 \times 2) = C^{'} (4, 8)$ 。

💡

若在原点异侧，坐标要乘 $- 2$ ；"放大 $2$ 倍"指相似比为 $2$ ，面积则变为原来的 $4$ 倍。

🎬 讲解视频

🎬讲解视频位（可填 B 站 BV 号或视频地址）

发现讲解有误或想补充案例？点这里补充

← 返回初中·数学