二次函数的顶点、对称轴与图象平移

🧭 知识小背景

抛物线最核心的是顶点和那条对称轴，配方成顶点式就一眼看出来；图象平移记住"左加右减、上加下减"就不会错。

📖 精讲

二次函数这一块，先抓住"顶点式"这把钥匙。一般式 $y = a x^{2} + b x + c$ 看不出顶点，配方成 $y = a (x - h)^{2} + k$ 后，顶点就是 $(h, k)$ ，对称轴就是直线 $x = h$ 。配方时记牢：先提出二次项系数 $a$ ，把一次项系数的一半平方"加进去再减出来"，凑成完全平方。也可以直接背公式：对称轴 $x = - \frac{b}{2 a}$ ，顶点纵坐标 $k = \frac{4 a c - b ^{2}}{4 a}$ ，但配方更稳、更能理解。平移只认顶点式，口诀"左加右减、上加下减"——注意左右改的是括号里的 $x$ （右移是 $x - h$ ，别写反符号），上下改的是外面的常数。已知顶点求解析式，先设顶点式再代一个点定 $a$ ，比一般式省一大截计算。多画草图对照，符号就不会错。

🧩 典型例题3 道

例1

把二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 配方成顶点式，并写出它的顶点坐标和对称轴。

💭 解题思路

一般式看不出顶点，用配方法凑完全平方，化成 $y = (x - h)^{2} + k$ 的形式。

✍️ 解答过程

① 一次项系数 $- 4$ 的一半是 $- 2$ ，其平方为 $4$ ，凑完全平方： $y = x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 3$ ；

② 前三项合成完全平方： $y = (x - 2)^{2} - 1$ ；

③ 对照顶点式得顶点 $(2, - 1)$ ，对称轴为直线 $x = 2$ 。

💡

加了 $4$ 一定要同时减 $4$ ，保证式子的值不变。

例2

把抛物线 $y = 2 x^{2}$ 先向右平移 $3$ 个单位，再向上平移 $1$ 个单位，求平移后的函数解析式。

💭 解题思路

平移只改顶点式，遵循"左加右减、上加下减"，右移改括号里的 $x$ ，上移改外面的常数。

✍️ 解答过程

① 原抛物线顶点式为 $y = 2 (x - 0)^{2} + 0$ ，顶点在原点；

② 向右平移 $3$ 个单位（右减），得 $y = 2 (x - 3)^{2}$ ；

③ 再向上平移 $1$ 个单位（上加），得 $y = 2 (x - 3)^{2} + 1$ 。

💡

右移是 $x - 3$ 不是 $x + 3$ ，符号最易记反，画顶点从 $(0, 0)$ 到 $(3, 1)$ 核对一下。

例3

已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点为 $(1, - 4)$ ，且经过点 $(3, 0)$ ，求它的解析式。

💭 解题思路

已知顶点，先设顶点式 $y = a (x - 1)^{2} - 4$ ，再代入已知点求出 $a$ 。

✍️ 解答过程

① 设顶点式 $y = a (x - 1)^{2} - 4$ ；

② 把点 $(3, 0)$ 代入： $0 = a (3 - 1)^{2} - 4$ ，即 $4 a - 4 = 0$ ，解得 $a = 1$ ；

③ 所以 $y = (x - 1)^{2} - 4$ ，展开为 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 。

💡

已知顶点一定先设顶点式，只剩一个未知数 $a$ ，比设一般式解方程组快得多。

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