反比例函数

考点初二

🧭 知识小背景

$y = \frac{k}{x}$ 的图象是双曲线， $k$ 的正负决定所在象限。图象上一点与两坐标轴围成的矩形面积恒为 $∣ k ∣$ ，是解题利器。

图解：反比例函数 y=k/x 的图象是双曲线。k>0 时两支分别在第一、三象限；在同一支上，x 越大 y 越小。

📖 精讲

$y = \frac{k}{x} (k \neq = 0$ ，即 $x y = k)$ ，图象是双曲线： $k > 0$ 在一、三象限， $k < 0$ 在二、四象限。

图象上任一点向两轴作垂线，与两轴围成的矩形面积恒为 $∣ k ∣$ ，与坐标轴围成的三角形面积为 $\frac{∣ k ∣}{2}$ 。

与一次函数联立求交点、比较大小，或结合面积问题。

🧩 典型例题3 道

例1

$y = \frac{k}{x}$ 过点 $(- 2, 3)$ ，求解析式，并判断 $(6, - 1)$ 是否在图象上。

✍️ 解答过程

$k = x y = (- 2) \times 3 = - 6$ ，故 $y = - \frac{6}{x}$ 。对 $(6, - 1)$ ： $6 \times (- 1) = - 6 = k$ ，成立，在图象上。

例2

点 $A$ 在 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 上， $A B ⊥ x$ 轴于 $B$ ，求 $△ A O B$ 的面积（ $O$ 为原点）。

✍️ 解答过程

设 $A (x, y)$ ， $x y = 4$ 。面积 $= \frac{1}{2} \cdot x \cdot y = \frac{1}{2} \times 4 = 2$ 。

💡

三角形面积 $= \frac{∣ k ∣}{2}$ ，与 $A$ 的位置无关。

例3

求 $y = x + 1$ 与 $y = \frac{2}{x}$ 的交点。

✍️ 解答过程

$x + 1 = \frac{2}{x}$ ， $x^{2} + x - 2 = 0$ ， $(x + 2) (x - 1) = 0$ ， $x = - 2$ 或 $1$ ，对应 $y = - 1$ 或 $2$ 。交点 $(- 2, - 1)$ 、 $(1, 2)$ 。

路程固定时，速度越快时间越短（速度×时间=路程），就是反比例。

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