全等三角形

重点难点考点初二

🧭 知识小背景

完全重合的两个三角形对应边角相等。判定有 $S S S$ 、 $S A S$ 、 $A S A$ 、 $AA S$ 及直角专用 $H L$ ，是证明线段、角相等的基本工具。

图解：两个三角形完全重合（全等），对应边、对应角分别相等；图中相同的刻度标记表示对应相等的边。

📖 精讲

两三角形完全重合，对应边、对应角相等，是证线段/角相等最基础的工具。

$S S S$ 、 $S A S$ 、 $A S A$ 、 $AA S$ ，直角三角形专用 $H L$ 。**没有 $S S A$ 、 $AAA$ 。**

标出已知等边等角 → 补第三个条件（公共边、公共角、对顶角、中点、平行得内错角）→ 选判定 → 导出结论。常用“截长补短”“倍长中线”作辅助线。

🧩 典型例题3 道

例1

如图 $A B = A D$ ， $∠ B A C = ∠ D A C$ ，求证 $B C = D C$ 。

✍️ 解答过程

在 $△ A B C$ 与 $△ A D C$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B A C = ∠ D A C$ ， $A C = A C$ （公共边），

$∴ △ A B C ≅ △ A D C (S A S)$ ， $∴ B C = D C$ 。

例2

$A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，延长 $A D$ 到 $E$ 使 $D E = A D$ ，连 $B E$ 。求证 $A C = B E$ 。

✍️ 解答过程

$A D = E D$ ， $∠ A D C = ∠ E D B$ （对顶角）， $C D = B D$ （中线），

$∴ △ A D C ≅ △ E D B (S A S)$ ， $∴ A C = B E$ 。

💡

“倍长中线”是构造全等的经典辅助线。

例3

判断：有两边及其中一边的对角对应相等的两三角形一定全等吗？

✍️ 解答过程

不一定。若相等角不是两边夹角（ $S S A$ ）不能判定；只有夹角相等（ $S A S$ ）才行。

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