数学广角——数与形

考点六年级

🧭 知识小背景

有些数的规律，用图形一看就懂。比如 1+3+5+7… 这些连续奇数相加，正好能拼成一个正方形，和就是奇数个数的平方。数缺了形不直观，形缺了数难精细，数形结合最巧妙。

📖 精讲

常见结论：1+3+5+…+(2n−1)=n²。方法是把抽象的数‘翻译’成看得见的图形去发现规律，再用规律去算很大的数，省去一个个相加。

🧩 典型例题3 道

例1

计算 $1 + 3 + 5 + 7 + 9$ 。

💭 解题思路

这是从 $1$ 开始的连续奇数相加，可以拼成一个正方形，和等于奇数个数的平方。

✍️ 解答过程

① 数一数，从 $1$ 到 $9$ 一共有 $5$ 个连续奇数；

② 根据规律，从 $1$ 起连续奇数的和等于个数的平方，即 $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^{2}$ ；

③ $5^{2} = 25$ ，所以原式 $= 25$ 。

💡

只有从 $1$ 开始的连续奇数相加才能拼成正方形，和才等于奇数个数的平方。

例2

已知 $1 + 3 + 5 + 7 + \dots + n = 64$ （加数都是从 $1$ 开始的连续奇数），求最后一个奇数 $n$ 。

💭 解题思路

从 $1$ 开始连续奇数的和等于个数的平方，先由和求出个数，再算最后一个奇数。

✍️ 解答过程

① 因为和等于奇数个数的平方，而 $64 = 8^{2}$ ，所以一共有 $8$ 个连续奇数；

② 第 $8$ 个奇数是 $2 \times 8 - 1 = 15$ ；

③ 所以 $n = 15$ 。

💡

个数 $= 和$ ，最后一个奇数 $= 2 \times 个数 - 1$ ，别忘了减 $1$ 。

例3

计算 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$ 。

💭 解题思路

把一个正方形看作单位“ $1$ ”，每次取剩下的一半，画图就能看出总和离 $1$ 还差多少。

✍️ 解答过程

① 把边长为 $1$ 的正方形面积看作 $1$ ，依次涂出 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{8}$ 、 $\frac{1}{16}$ ；

② 图中涂色部分正好是整个正方形去掉最后剩下的一小块 $\frac{1}{16}$ ；

③ 所以原式 $= 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ 。

💡

分母不断翻倍的分数相加，用“整体 $1$ 减去最后剩下的一块”最简便。

用棋子摆正方形找规律；搭积木数总数；找地砖、图案排列的规律。

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