数学广角——鸽巢问题（抽屉原理）

把 $4$ 支铅笔放进 $3$ 个笔筒里,不管怎么放,总有一个笔筒里至少放几支铅笔?

思路:铅笔比笔筒多,先假设每个笔筒都尽量少放,看能不能放下,放不下就说明有笔筒被“挤”了。

解:

① 假设每个笔筒最多放 $1$ 支,$3$ 个笔筒最多只能放 $3$ 支;

② 可是一共有 $4$ 支,$4>3$,还剩 $1$ 支必须再放进某个笔筒;

③ 用带余除法算:$4÷3=1\cdots \cdots 1$,至少数 $=1+1=2$(支)。

点拨:先“平均分”,有余数时结果为“商 $+1$”,不是“商 $+$ 余数”。

一个盒子里有红、黄、蓝三种颜色的球各 $5$ 个,闭着眼睛摸,至少摸出几个球才能保证有两个球颜色相同?

思路:把 $3$ 种颜色看成 $3$ 个“抽屉”,要“保证”就按最不利的情况想——先让每种颜色各摸到 $1$ 个。

解:

① 最不利时,前 $3$ 个恰好是红、黄、蓝各 $1$ 个,此时还没有两个同色;

② 再任意摸 $1$ 个,它必与前面某个颜色相同;

③ 所以至少摸 $3+1=4$(个)才能保证有两个同色。

点拨:“保证一定发生”要按最坏情况算,与每种颜色有 $5$ 个(只要不少于 $2$ 个)无关。

把一些苹果放进 $4$ 个抽屉里,要保证总有一个抽屉里至少有 $5$ 个苹果,至少要放多少个苹果?

思路:这是“已知至少数、反过来求总数”的问题。要让某个抽屉逼近 $5$ 个,先让每个抽屉尽量少、放到 $4$ 个还“不达标”,再多 $1$ 个就被迫达标。

解:

① 每个抽屉先放 $4$ 个(还没到 $5$ 个),$4$ 个抽屉共放 $4\times 4=16$(个);

② 此时再放 $1$ 个,不论放进哪个抽屉,都会出现某抽屉有 $5$ 个;

③ 所以至少要放 $16+1=17$(个)。

点拨:逆向求总数用“抽屉数 $\times$(至少数 $-1$)$+1$”,少放 $1$ 个就无法保证。